當(dāng)在 10 億數(shù)據(jù)中只需要進(jìn)行十幾次比較就能查找到目標(biāo)時，不禁感嘆編程之魅力!人類之偉大呀!

                                                                                                                                              —學(xué)紅黑樹有感

終于，在學(xué)習(xí)了幾天的紅黑樹相關(guān)的知識后，我想把我所學(xué)所想和所感分享給大家。

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紅黑樹是一種比較難的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，要完全搞懂非常耗時耗力，紅黑樹怎么自平衡?什么時候需要左旋或右旋?插入和刪除破壞了樹的平衡后怎么處理?等等一連串的問題在學(xué)習(xí)前困擾著我。

如果你在學(xué)習(xí)過程中也會存在我的疑問，那么本文對你會有幫助，本文幫助你全面、徹底地理解紅黑樹!

本文將通過圖文的方式講解紅黑樹的知識點，并且不會涉及到任何代碼，相信我，在懂得紅黑樹實現(xiàn)原理前，看代碼會一頭霧水的，當(dāng)原理懂了，代碼也就按部就班寫而已，沒任何難度。

閱讀本文你需具備知識點：

• 二叉查找樹
• 完美平衡二叉樹

紅黑樹也是二叉查找樹，我們知道，二叉查找樹這一數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)并不難，而紅黑樹之所以難是難在它是自平衡的二叉查找樹，在進(jìn)行插入和刪除等可能會破壞樹的平衡的操作時，需要重新自處理達(dá)到平衡狀態(tài)。

現(xiàn)在在腦海想下怎么實現(xiàn)?是不是太多情景需要考慮了?嘖嘖，先別急，通過本文的學(xué)習(xí)后，你會覺得，其實也不過如此而已。好吧，我們先來看下紅黑樹的定義和一些基本性質(zhì)。

紅黑樹定義和性質(zhì)

紅黑樹是一種含有紅黑結(jié)點并能自平衡的二叉查找樹。它必須滿足下面性質(zhì)：

• 每個節(jié)點要么是黑色，要么是紅色。
• 根節(jié)點是黑色。
• 每個葉子節(jié)點(Nil)是黑色。
• 每個紅色結(jié)點的兩個子結(jié)點一定都是黑色。
• 任意一結(jié)點到每個葉子結(jié)點的路徑都包含數(shù)量相同的黑結(jié)點。

從性質(zhì) 5 又可以推出：如果一個結(jié)點存在黑子結(jié)點，那么該結(jié)點肯定有兩個子結(jié)點。

 

圖 1：一棵簡單的紅黑樹

上圖就是一顆簡單的紅黑樹。其中 Nil 為葉子結(jié)點，并且它是黑色的。(值得提醒注意的是，在 Java 中，葉子結(jié)點是為 null 的結(jié)點。)

紅黑樹并不是一個完美平衡二叉查找樹，從圖 1 可以看到，根結(jié)點 P 的左子樹顯然比右子樹高。

但左子樹和右子樹的黑結(jié)點的層數(shù)是相等的，也即任意一個結(jié)點到到每個葉子結(jié)點的路徑都包含數(shù)量相同的黑結(jié)點(性質(zhì) 5)。所以我們叫紅黑樹這種平衡為黑色完美平衡。

介紹到此，為了后面講解不至于混淆，我們還需要來約定下紅黑樹一些結(jié)點的叫法，如圖 2 所示：

圖 2：結(jié)點叫法約定

我們把正在處理(遍歷)的結(jié)點叫做當(dāng)前結(jié)點，如圖 2 中的 D，它的父親叫做父結(jié)點，它的父親的另外一個子結(jié)點叫做兄弟結(jié)點，父親的父親叫做祖父結(jié)點。

前面講到紅黑樹能自平衡，它靠的是什么?有如下三種操作：

左旋：以某個結(jié)點作為支點(旋轉(zhuǎn)結(jié)點)，其右子結(jié)點變?yōu)樾D(zhuǎn)結(jié)點的父結(jié)點，右子結(jié)點的左子結(jié)點變?yōu)樾D(zhuǎn)結(jié)點的右子結(jié)點，左子結(jié)點保持不變。如圖 3。

右旋：以某個結(jié)點作為支點(旋轉(zhuǎn)結(jié)點)，其左子結(jié)點變?yōu)樾D(zhuǎn)結(jié)點的父結(jié)點，左子結(jié)點的右子結(jié)點變?yōu)樾D(zhuǎn)結(jié)點的左子結(jié)點，右子結(jié)點保持不變。如圖 4。

變色：結(jié)點的顏色由紅變黑或由黑變紅。

圖 3：左旋

圖 4：右旋

上面所說的旋轉(zhuǎn)結(jié)點也即旋轉(zhuǎn)的支點，圖 4 和圖 5 中的 P 結(jié)點。我們先忽略顏色，可以看到旋轉(zhuǎn)操作不會影響旋轉(zhuǎn)結(jié)點的父結(jié)點，父結(jié)點以上的結(jié)構(gòu)還是保持不變的。

左旋只影響旋轉(zhuǎn)結(jié)點和其右子樹的結(jié)構(gòu)，把右子樹的結(jié)點往左子樹挪了;右旋只影響旋轉(zhuǎn)結(jié)點和其左子樹的結(jié)構(gòu)，把左子樹的結(jié)點往右子樹挪了。

所以旋轉(zhuǎn)操作是局部的。另外可以看出旋轉(zhuǎn)能保持紅黑樹平衡的一些端詳了：當(dāng)一邊子樹的結(jié)點少了，那么向另外一邊子樹“借”一些結(jié)點;當(dāng)一邊子樹的結(jié)點多了，那么向另外一邊子樹“租”一些結(jié)點。

但要保持紅黑樹的性質(zhì)，結(jié)點不能亂挪，還得靠變色了。怎么變?具體情景有不同變法，后面會具體講到，現(xiàn)在只需要記住紅黑樹總是通過旋轉(zhuǎn)和變色達(dá)到自平衡。

Balabala 了這么多，相信你對紅黑樹有一定印象了，那么現(xiàn)在來考考你。

思考題 1：黑結(jié)點可以同時包含一個紅子結(jié)點和一個黑子結(jié)點嗎? (答案見文末)

接下來先講解紅黑樹的查找熱熱身。

紅黑樹查找

因為紅黑樹是一顆二叉平衡樹，并且查找不會破壞樹的平衡，所以查找跟二叉平衡樹的查找無異：

從根結(jié)點開始查找，把根結(jié)點設(shè)置為當(dāng)前結(jié)點。

• 若當(dāng)前結(jié)點為空，返回 null。
• 若當(dāng)前結(jié)點不為空，用當(dāng)前結(jié)點的 key 跟查找 key 作比較。
• 若當(dāng)前結(jié)點 key 等于查找 key，那么該 key 就是查找目標(biāo)，返回當(dāng)前結(jié)點。
• 若當(dāng)前結(jié)點 key 大于查找 key，把當(dāng)前結(jié)點的左子結(jié)點設(shè)置為當(dāng)前結(jié)點，重復(fù)步驟 2。
• 若當(dāng)前結(jié)點 key 小于查找 key，把當(dāng)前結(jié)點的右子結(jié)點設(shè)置為當(dāng)前結(jié)點，重復(fù)步驟 2。

如圖 5 所示：

圖 5：二叉樹查找流程圖

非常簡單，但簡單不代表它效率不好。正由于紅黑樹總保持黑色完美平衡，所以它的查找最壞時間復(fù)雜度為 O(2lgN)，也即整顆樹剛好紅黑相隔的時候。

能有這么好的查找效率得益于紅黑樹自平衡的特性，而這背后的付出，紅黑樹的插入操作功不可沒。

紅黑樹插入

插入操作包括兩部分工作：一是查找插入的位置;二是插入后自平衡。

查找插入的父結(jié)點很簡單，跟查找操作區(qū)別不大：

• 從根結(jié)點開始查找。
• 若根結(jié)點為空，那么插入結(jié)點作為根結(jié)點，結(jié)束。
• 若根結(jié)點不為空，那么把根結(jié)點作為當(dāng)前結(jié)點。
• 若當(dāng)前結(jié)點為 null，返回當(dāng)前結(jié)點的父結(jié)點，結(jié)束。
• 若當(dāng)前結(jié)點 key 等于查找 key，那么該 key 所在結(jié)點就是插入結(jié)點，更新結(jié)點的值，結(jié)束。
• 若當(dāng)前結(jié)點 key 大于查找 key，把當(dāng)前結(jié)點的左子結(jié)點設(shè)置為當(dāng)前結(jié)點，重復(fù)步驟 4。
• 若當(dāng)前結(jié)點 key 小于查找 key，把當(dāng)前結(jié)點的右子結(jié)點設(shè)置為當(dāng)前結(jié)點，重復(fù)步驟 4。

如圖 6 所示：

圖 6：紅黑樹插入位置查找

OK，插入位置已經(jīng)找到，把插入結(jié)點放到正確的位置就可以啦，但插入結(jié)點應(yīng)該是什么顏色呢?

答案是紅色。理由很簡單，紅色在父結(jié)點(如果存在)為黑色結(jié)點時，紅黑樹的黑色平衡沒被破壞，不需要做自平衡操作。

但如果插入結(jié)點是黑色，那么插入位置所在的子樹黑色結(jié)點總是多 1，必須做自平衡。

所有插入情景如圖 7 所示：

圖 7：紅黑樹插入情景

嗯，插入情景很多呢，8 種插入情景!但情景 1、2 和 3 的處理很簡單，而情景 4.2 和情景 4.3 只是方向反轉(zhuǎn)而已。

懂得了一種情景就能推出另外一種情景，所以總體來看，并不復(fù)雜，后續(xù)我們將一個一個情景來看，把它徹底搞懂。

另外，根據(jù)二叉樹的性質(zhì)，除了情景 2，所有插入操作都是在葉子結(jié)點進(jìn)行的。這點應(yīng)該不難理解，因為查找插入位置時，我們就是在找子結(jié)點為空的父結(jié)點的。

在開始每個情景的講解前，我們還是先來約定下，如圖 8 所示：

圖 8：插入操作結(jié)點的叫法約定

圖 8 的字母并不代表結(jié)點 Key 的大小。I 表示插入結(jié)點，P 表示插入結(jié)點的父結(jié)點，S 表示插入結(jié)點的叔叔結(jié)點，PP 表示插入結(jié)點的祖父結(jié)點。

好了，下面讓我們一個一個來分析每個插入的情景以及處理。

情景 1：紅黑樹為空樹

最簡單的一種情景，直接把插入結(jié)點作為根結(jié)點就行，但注意，根據(jù)紅黑樹性質(zhì) 2：根節(jié)點是黑色。還需要把插入結(jié)點設(shè)為黑色。

處理：把插入結(jié)點作為根結(jié)點，并把結(jié)點設(shè)置為黑色。

情景 2：插入結(jié)點的 Key 已存在

插入結(jié)點的 Key 已存在，既然紅黑樹總保持平衡，在插入前紅黑樹已經(jīng)是平衡的，那么把插入結(jié)點設(shè)置為將要替代結(jié)點的顏色，再把結(jié)點的值更新就完成插入。

處理：把 I 設(shè)為當(dāng)前結(jié)點的顏色，更新當(dāng)前結(jié)點的值為插入結(jié)點的值。

情景 3：插入結(jié)點的父結(jié)點為黑結(jié)點

由于插入的結(jié)點是紅色的，當(dāng)插入結(jié)點是黑色時，并不會影響紅黑樹的平衡，直接插入即可，無需做自平衡。

處理：直接插入。

情景 4：插入結(jié)點的父結(jié)點為紅結(jié)點

再次回想下紅黑樹的性質(zhì) 2：根結(jié)點是黑色。如果插入的父結(jié)點為紅結(jié)點，那么該父結(jié)點不可能為根結(jié)點，所以插入結(jié)點總是存在祖父結(jié)點。這點很重要，因為后續(xù)的旋轉(zhuǎn)操作肯定需要祖父結(jié)點的參與。

情景 4 又分為很多子情景，下面將進(jìn)入重點部分，各位看官請留神了。

插入情景 4.1：叔叔結(jié)點存在并且為紅結(jié)點。

從紅黑樹性質(zhì) 4 可以，祖父結(jié)點肯定為黑結(jié)點，因為不可以同時存在兩個相連的紅結(jié)點。

那么此時該插入子樹的紅黑層數(shù)的情況是：黑紅紅。顯然最簡單的處理方式是把其改為：紅黑紅。如圖 9 和圖 10 所示。

處理：將 P 和 S 設(shè)置為黑色，將 PP 設(shè)置為紅色，把 PP 設(shè)置為當(dāng)前插入結(jié)點。

圖 9：插入情景 4.1_1

圖 10：插入情景 4.1_2

可以看到，我們把 PP 結(jié)點設(shè)為紅色了，如果 PP 的父結(jié)點是黑色，那么無需再做任何處理。

但如果 PP 的父結(jié)點是紅色，根據(jù)性質(zhì) 4，此時紅黑樹已不平衡了，所以還需要把 PP 當(dāng)作新的插入結(jié)點，繼續(xù)做插入操作自平衡處理，直到平衡為止。

試想下 PP 剛好為根結(jié)點時，那么根據(jù)性質(zhì) 2，我們必須把 PP 重新設(shè)為黑色，那么樹的紅黑結(jié)構(gòu)變?yōu)椋汉诤诩t。

換句話說，從根結(jié)點到葉子結(jié)點的路徑中，黑色結(jié)點增加了。這也是唯一一種會增加紅黑樹黑色結(jié)點層數(shù)的插入情景。

我們還可以總結(jié)出另外一個經(jīng)驗：紅黑樹的生長是自底向上的。這點不同于普通的二叉查找樹，普通的二叉查找樹的生長是自頂向下的。

插入情景 4.2：叔叔結(jié)點不存在或為黑結(jié)點，并且插入結(jié)點的父親結(jié)點是祖父結(jié)點的左子結(jié)點。

單純從插入前來看，也即不算情景 4.1 自底向上處理時的情況，叔叔結(jié)點非紅即為葉子結(jié)點(Nil)。

因為如果叔叔結(jié)點為黑結(jié)點，而父結(jié)點為紅結(jié)點，那么叔叔結(jié)點所在的子樹的黑色結(jié)點就比父結(jié)點所在子樹的多了，這不滿足紅黑樹的性質(zhì) 5。后續(xù)情景同樣如此，不再多做說明了。

前文說了，需要旋轉(zhuǎn)操作時，肯定一邊子樹的結(jié)點多了或少了，需要租或借給另一邊。插入顯然是多的情況，那么把多的結(jié)點租給另一邊子樹就可以了。

插入情景 4.2.1：插入結(jié)點是其父結(jié)點的左子結(jié)點。

處理：將 P 設(shè)為黑色，將 PP 設(shè)為紅色，對 PP 進(jìn)行右旋。

圖 11：插入情景 4.2.1

由圖 11 可得，左邊兩個紅結(jié)點，右邊不存在，那么一邊一個剛剛好，并且因為為紅色，肯定不會破壞樹的平衡。

咦，可以把 PP 設(shè)為紅色，I 和 P 設(shè)為黑色嗎?答案是可以!看過《算法：第 4 版》的同學(xué)可能知道，書中講解的就是把 PP 設(shè)為紅色，I 和 P 設(shè)為黑色。

但把 PP 設(shè)為紅色，顯然又會出現(xiàn)情景 4.1 的情況，需要自底向上處理，做多了無謂的操作，既然能自己消化就不要麻煩祖輩們啦。

插入情景 4.2.2：插入結(jié)點是其父結(jié)點的右子結(jié)點。

這種情景顯然可以轉(zhuǎn)換為情景 4.2.1，如圖 12 所示，不做過多說明了。

圖 12：插入情景 4.2.2

處理：對 P 進(jìn)行左旋，把 P 設(shè)置為插入結(jié)點，得到情景 4.2.1，進(jìn)行情景 4.2.1 的處理。

插入情景 4.3：叔叔結(jié)點不存在或為黑結(jié)點，并且插入結(jié)點的父親結(jié)點是祖父結(jié)點的右子結(jié)點。

該情景對應(yīng)情景 4.2，只是方向反轉(zhuǎn)，不做過多說明了，直接看圖。

插入情景 4.3.1：插入結(jié)點是其父結(jié)點的右子結(jié)點。

圖 13：插入情景 4.3.1

處理：將 P 設(shè)為黑色，將 PP 設(shè)為紅色，對 PP 進(jìn)行左旋。

插入情景 4.3.2：插入結(jié)點是其父結(jié)點的右子結(jié)點。

圖 14：插入情景 4.3.2

處理：對 P 進(jìn)行右旋，把 P 設(shè)置為插入結(jié)點，得到情景 4.3.1，進(jìn)行情景 4.3.1 的處理。

好了，講完插入的所有情景了?？赡苡型瑢W(xué)會想：上面的情景舉例的都是第一次插入而不包含自底向上處理的情況，那么上面所說的情景都適合自底向上的情況嗎?答案是肯定的。

理由很簡單，只要每棵子樹都能自平衡，那么整棵樹最終總是平衡的。好吧，在出個習(xí)題，請大家拿出筆和紙畫下試試(請務(wù)必動手畫下，加深印象)。

習(xí)題 1：請畫出圖 15 的插入自平衡處理過程。(答案見文末)

圖 15：習(xí)題 1

紅黑樹刪除

紅黑樹插入已經(jīng)夠復(fù)雜了，但刪除更復(fù)雜，也是紅黑樹最復(fù)雜的操作了。但穩(wěn)住，勝利的曙光就在前面了!

紅黑樹的刪除操作也包括兩部分工作：一是查找目標(biāo)結(jié)點;二是刪除后自平衡。

查找目標(biāo)結(jié)點顯然可以復(fù)用查找操作，當(dāng)不存在目標(biāo)結(jié)點時，忽略本次操作;當(dāng)存在目標(biāo)結(jié)點時，刪除后就得做自平衡處理了。

刪除了結(jié)點后，我們還需要找結(jié)點來替代刪除結(jié)點的位置，不然子樹跟父輩結(jié)點斷開了，除非刪除結(jié)點剛好沒子結(jié)點，那么就不需要替代。

二叉樹刪除結(jié)點找替代結(jié)點有 3 種情景：

• 若刪除結(jié)點無子結(jié)點，直接刪除。
• 若刪除結(jié)點只有一個子結(jié)點，用子結(jié)點替換刪除結(jié)點。
• 若刪除結(jié)點有兩個子結(jié)點，用后繼結(jié)點(大于刪除結(jié)點的最小結(jié)點)替換刪除結(jié)點。

補充說明下，情景 3 的后繼結(jié)點是大于刪除結(jié)點的最小結(jié)點，也是刪除結(jié)點的右子樹中最右結(jié)點。

那么可以拿前繼結(jié)點(刪除結(jié)點的左子樹最左結(jié)點)替代嗎?可以的。但習(xí)慣上大多都是拿后繼結(jié)點來替代，后文的講解也是用后繼結(jié)點來替代。

另外告訴大家一種找前繼和后繼結(jié)點的直觀的方法(不知為何沒人提過，大家都知道?)：把二叉樹所有結(jié)點投射在X軸上，所有結(jié)點都是從左到右排好序的，所有目標(biāo)結(jié)點的前后結(jié)點就是對應(yīng)前繼和后繼結(jié)點。

如圖 16 所示：

圖 16：二叉樹投射 x 軸后有序

接下來，講一個重要的思路：刪除結(jié)點被替代后，在不考慮結(jié)點的鍵值的情況下，對于樹來說，可以認(rèn)為刪除的是替代結(jié)點!話很蒼白，我們看圖 17。

圖 17：刪除結(jié)點換位思路

在不看鍵值對的情況下，圖 17 的紅黑樹最終結(jié)果是刪除了 Q 所在位置的結(jié)點!這種思路非常重要，大大簡化了后文講解紅黑樹刪除的情景!

基于此，上面所說的 3 種二叉樹的刪除情景可以相互轉(zhuǎn)換并且最終都是轉(zhuǎn)換為情景 1。

情景 2：刪除結(jié)點用其唯一的子結(jié)點替換，子結(jié)點替換為刪除結(jié)點后，可以認(rèn)為刪除的是子結(jié)點，若子結(jié)點又有兩個子結(jié)點，那么相當(dāng)于轉(zhuǎn)換為情景 3，一直自頂向下轉(zhuǎn)換，總是能轉(zhuǎn)換為情景 1。(對于紅黑樹來說，根據(jù)性質(zhì) 5.1，只存在一個子結(jié)點的結(jié)點肯定在樹末了)

情景 3：刪除結(jié)點用后繼結(jié)點(肯定不存在左結(jié)點)，如果后繼結(jié)點有右子結(jié)點，那么相當(dāng)于轉(zhuǎn)換為情景 2，否則轉(zhuǎn)為情景 1。

二叉樹刪除結(jié)點情景關(guān)系圖如圖 18 所示：

圖 18：二叉樹刪除情景轉(zhuǎn)換

綜上所述，刪除操作刪除的結(jié)點可以看作刪除替代結(jié)點，而替代結(jié)點最后總是在樹末。

有了這結(jié)論，我們討論的刪除紅黑樹的情景就少了很多，因為我們只考慮刪除樹末結(jié)點的情景了。

同樣的，我們也是先來總體看下刪除操作的所有情景，如圖 19 所示：

圖 19：紅黑樹刪除情景

哈哈，是的，即使簡化了還是有 9 種情景!但跟插入操作一樣，存在左右對稱的情景，只是方向變了，沒有本質(zhì)區(qū)別。同樣的，我們還是來約定下，如圖 20 所示：

圖 20：刪除操作結(jié)點的叫法約定

圖 20 的字母并不代表結(jié)點 Key 的大小。R 表示替代結(jié)點，P 表示替代結(jié)點的父結(jié)點，S 表示替代結(jié)點的兄弟結(jié)點，SL 表示兄弟結(jié)點的左子結(jié)點，SR 表示兄弟結(jié)點的右子結(jié)點?；疑Y(jié)點表示它可以是紅色也可以是黑色。

值得特別提醒的是，R 是即將被替換到刪除結(jié)點的位置的替代結(jié)點，在刪除前，它還在原來所在位置參與樹的子平衡，平衡后再替換到刪除結(jié)點的位置，才算刪除完成。

萬事俱備，我們進(jìn)入最后的也是最難的講解。

刪除情景 1：替換結(jié)點是紅色結(jié)點。

我們把替換結(jié)點換到了刪除結(jié)點的位置時，由于替換結(jié)點是紅色，刪除了也不會影響紅黑樹的平衡，只要把替換結(jié)點的顏色設(shè)為刪除的結(jié)點的顏色即可重新平衡。

處理：顏色變?yōu)閯h除結(jié)點的顏色。

刪除情景 2：替換結(jié)點是黑結(jié)點。

當(dāng)替換結(jié)點是黑色時，我們就不得不進(jìn)行自平衡處理了。我們必須還得考慮替換結(jié)點是其父結(jié)點的左子結(jié)點還是右子結(jié)點，來做不同的旋轉(zhuǎn)操作，使樹重新平衡。

刪除情景 2.1：替換結(jié)點是其父結(jié)點的左子結(jié)點。

刪除情景 2.1.1：替換結(jié)點的兄弟結(jié)點是紅結(jié)點。

圖 21：刪除情景 2.1.1

若兄弟結(jié)點是紅結(jié)點，那么根據(jù)性質(zhì) 4，兄弟結(jié)點的父結(jié)點和子結(jié)點肯定為黑色，不會有其他子情景，我們按圖 21 處理，得到刪除情景 2.1.2.3(后續(xù)講解，這里先記住，此時 R 仍然是替代結(jié)點，它的新的兄弟結(jié)點 SL 和兄弟結(jié)點的子結(jié)點都是黑色)。

處理：將 S 設(shè)為黑色，將 P 設(shè)為紅色，對 P 進(jìn)行左旋，得到情景 2.1.2.3，進(jìn)行情景 2.1.2.3 的處理。

刪除情景 2.1.2：替換結(jié)點的兄弟結(jié)點是黑結(jié)點。

當(dāng)兄弟結(jié)點為黑色時，其父結(jié)點和子結(jié)點的具體顏色也無法確定(如果也不考慮自底向上的情況，子結(jié)點非紅即為葉子結(jié)點Nil，Nil結(jié)點為黑結(jié)點)，此時又得考慮多種子情景。

刪除情景 2.1.2.1：替換結(jié)點的兄弟結(jié)點的右子結(jié)點是紅結(jié)點，左子結(jié)點任意顏色。

圖 22：刪除情景 2.1.2.1

即將刪除的左子樹的一個黑色結(jié)點，顯然左子樹的黑色結(jié)點少 1 了，然而右子樹又有紅色結(jié)點，那么我們直接向右子樹“借”個紅結(jié)點來補充黑結(jié)點就好啦，此時肯定需要用旋轉(zhuǎn)處理了，如圖 22 所示。

處理：將 S 的顏色設(shè)為 P 的顏色，將 P 設(shè)為黑色，將 SR 設(shè)為黑色，對 P 進(jìn)行左旋。

平衡后的圖怎么不滿足紅黑樹的性質(zhì)?前文提醒過，R 是即將替換的，它還參與樹的自平衡，平衡后再替換到刪除結(jié)點的位置，所以 R 最終可以看作是刪除的。

另外圖 2.1.2.1 是考慮到第一次替換和自底向上處理的情況，如果只考慮第一次替換的情況，根據(jù)紅黑樹性質(zhì)，SL 肯定是紅色或為 Nil，所以最終結(jié)果樹是平衡的。

如果是自底向上處理的情況，同樣，每棵子樹都保持平衡狀態(tài)，最終整棵樹肯定是平衡的。后續(xù)的情景同理，不做過多說明了。

刪除情景 2.1.2.2：替換結(jié)點的兄弟結(jié)點的右子結(jié)點為黑結(jié)點，左子結(jié)點為紅結(jié)點。

兄弟結(jié)點所在的子樹有紅結(jié)點，我們總是可以向兄弟子樹借個紅結(jié)點過來，顯然該情景可以轉(zhuǎn)換為情景 2.1.2.1。如圖 23 所示：

圖 23：刪除情景 2.1.2.2

處理：將 S 設(shè)為紅色，將 SL 設(shè)為黑色，對 S 進(jìn)行右旋，得到情景 2.1.2.1，進(jìn)行情景 2.1.2.1 的處理。

刪除情景 2.1.2.3：替換結(jié)點的兄弟結(jié)點的子結(jié)點都為黑結(jié)點。

好了，此次兄弟子樹都沒紅結(jié)點“借”了，兄弟幫忙不了，找父母唄，這種情景我們把兄弟結(jié)點設(shè)為紅色，再把父結(jié)點當(dāng)作替代結(jié)點，自底向上處理，去找父結(jié)點的兄弟結(jié)點去“借”。

但為什么需要把兄弟結(jié)點設(shè)為紅色呢?顯然是為了在 P 所在的子樹中保證平衡(R 即將刪除，少了一個黑色結(jié)點，子樹也需要少一個)，后續(xù)的平衡工作交給父輩們考慮了，還是那句，當(dāng)每棵子樹都保持平衡時，最終整棵總是平衡的。

圖 24：情景 2.1.2.3

處理：將 S 設(shè)為紅色，把 P 作為新的替換結(jié)點，重新進(jìn)行刪除結(jié)點情景處理。

刪除情景 2.2：替換結(jié)點是其父結(jié)點的右子結(jié)點。

好啦，右邊的操作也是方向相反，不做過多說明了，相信理解了刪除情景 2.1 后，肯定可以理解 2.2。

刪除情景 2.2.1：替換結(jié)點的兄弟結(jié)點是紅結(jié)點。

圖 25：刪除情景 2.2.1

處理：將 S 設(shè)為黑色，將 P 設(shè)為紅色，對 P 進(jìn)行右旋，得到情景 2.2.2.3，進(jìn)行情景 2.2.2.3 的處理。

刪除情景 2.2.2：替換結(jié)點的兄弟結(jié)點是黑結(jié)點。

刪除情景 2.2.2.1：替換結(jié)點的兄弟結(jié)點的左子結(jié)點是紅結(jié)點，右子結(jié)點任意顏色。

圖 26：刪除情景 2.2.2.1

處理：將 S 的顏色設(shè)為 P 的顏色，將 P 設(shè)為黑色，將 SL 設(shè)為黑色，對 P 進(jìn)行右旋。

刪除情景 2.2.2.2：替換結(jié)點的兄弟結(jié)點的左子結(jié)點為黑結(jié)點，右子結(jié)點為紅結(jié)點。

圖 27：刪除情景 2.2.2.2

處理：將 S 設(shè)為紅色，將 SR 設(shè)為黑色，對 S 進(jìn)行左旋，得到情景 2.2.2.1，進(jìn)行情景 2.2.2.1 的處理。

刪除情景 2.2.2.3：替換結(jié)點的兄弟結(jié)點的子結(jié)點都為黑結(jié)點。

圖 28：刪除情景 2.2.2.3

處理：將 S 設(shè)為紅色，把 P 作為新的替換結(jié)點，重新進(jìn)行刪除結(jié)點情景處理。

綜上，紅黑樹刪除后自平衡的處理可以總結(jié)為：

自己能搞定的自消化(情景 1)

自己不能搞定的叫兄弟幫忙(除了情景 1、情景 2.1.2.3 和情景 2.2.2.3)

兄弟都幫忙不了的，通過父母，找遠(yuǎn)方親戚(情景2.1.2.3和情景2.2.2.3)

哈哈，是不是跟現(xiàn)實中很像，當(dāng)我們有困難時，首先先自己解決，自己無力了找兄弟姐妹幫忙，如果連兄弟姐妹都幫不上，再去找遠(yuǎn)方的親戚了。這樣記憶應(yīng)該會好記點～

最后再做個習(xí)題加深理解(請不熟悉的同學(xué)務(wù)必動手畫下)。

習(xí)題 2：請畫出圖 29 的刪除自平衡處理過程。

習(xí)題 2

寫在后面

相信看了這篇文章后，再去看 Java 和 HashMap 和 TreeMap 的源碼絕對沒難度!最后來看下思考題和習(xí)題的答案吧。

思考題 1：黑結(jié)點可以同時包含一個紅子結(jié)點和一個黑子結(jié)點嗎?

答：可以。如下圖的 F 結(jié)點：

習(xí)題 1：請畫出圖 15 的插入自平衡處理過程。

答案如下圖：

習(xí)題 2：請畫出圖 29 的刪除自平衡處理過程。

答案如下圖：