前言

大家好，我是撿田螺的小男孩。馬上三四月份找工作面試高峰期啦~

我們去面試大廠的時候，經常會遇到動態規劃類型題目。動態規劃問題非常非常經典，也很有技巧性，一般大廠都非常喜歡問。今天跟大家一起來學習動態規劃的套路，文章如果有不正確的地方，歡迎大家指出哈，感謝感謝~

• 什么是動態規劃？
• 動態規劃的核心思想
• 一個例子走進動態規劃
• 動態規劃的解題套路
• leetcode案例分析

圖片

什么是動態規劃？

動態規劃（英語：Dynamic programming，簡稱 DP），是一種在數學、管理科學、計算機科學、經濟學和生物信息學中使用的，通過把原問題分解為相對簡單的子問題的方式求解復雜問題的方法。動態規劃常常適用于有重疊子問題和最優子結構性質的問題。

dynamic programming is a method for solving a complex problem by breaking it down into a collection of simpler subproblems.

以上定義來自維基百科，看定義感覺還是有點抽象。簡單來說，動態規劃其實就是，給定一個問題，我們把它拆成一個個子問題，直到子問題可以直接解決。然后呢，把子問題答案保存起來，以減少重復計算。再根據子問題答案反推，得出原問題解的一種方法。

一般這些子問題很相似，可以通過函數關系式遞推出來。然后呢，動態規劃就致力于解決每個子問題一次，減少重復計算,比如斐波那契數列就可以看做入門級的經典動態規劃問題。

動態規劃核心思想

動態規劃最核心的思想，就在于拆分子問題，記住過往，減少重復計算。

動態規劃在于記住過往

我們來看下，網上比較流行的一個例子：

• A ："1+1+1+1+1+1+1+1 =？"
• A ："上面等式的值是多少"
• B ：計算 "8"
• A :  在上面等式的左邊寫上 "1+" 呢？
• A : "此時等式的值為多少"
• B :  很快得出答案 "9"
• A : "你怎么這么快就知道答案了"
• A : "只要在8的基礎上加1就行了"
• A : "所以你不用重新計算，因為你記住了第一個等式的值為8!動態規劃算法也可以說是 '記住求過的解來節省時間'"

一個例子帶你走進動態規劃 -- 青蛙跳階問題

暴力遞歸

leetcode原題：一只青蛙一次可以跳上1級臺階，也可以跳上2級臺階。求該青蛙跳上一個 10 級的臺階總共有多少種跳法。

有些小伙伴第一次見這個題的時候，可能會有點蒙圈，不知道怎么解決。其實可以試想：

• 要想跳到第10級臺階，要么是先跳到第9級，然后再跳1級臺階上去;要么是先跳到第8級，然后一次邁2級臺階上去。
• 同理，要想跳到第9級臺階，要么是先跳到第8級，然后再跳1級臺階上去;要么是先跳到第7級，然后一次邁2級臺階上去。
• 要想跳到第8級臺階，要么是先跳到第7級，然后再跳1級臺階上去;要么是先跳到第6級，然后一次邁2級臺階上去。

假設跳到第n級臺階的跳數我們定義為f(n)，很顯然就可以得出以下公式：

f（10） = f（9）+f(8)
f (9)  = f(8) + f(7)
f (8)  = f(7) + f(6)
...
f(3) = f(2) + f(1)

即通用公式為: f(n) = f(n-1) + f(n-2)

那f(2) 或者 f(1) 等于多少呢？

• 當只有2級臺階時，有兩種跳法，第一種是直接跳兩級，第二種是先跳一級，然后再跳一級。即f(2) = 2;
• 當只有1級臺階時，只有一種跳法，即f（1）= 1；

因此可以用遞歸去解決這個問題：

class Solution {
    public int numWays(int n) {
    if(n == 1){
        return 1;
    }
     if(n == 2){
        return 2;
    }
    return numWays(n-1) + numWays(n-2);
    }
}

去leetcode提交一下，發現有問題，超出時間限制了

圖片

為什么超時了呢？遞歸耗時在哪里呢？先畫出遞歸樹看看：

圖片

• 要計算原問題 f(10)，就需要先計算出子問題 f(9) 和 f(8)
• 然后要計算 f(9)，又要先算出子問題 f(8) 和 f(7)，以此類推。
• 一直到 f(2) 和 f(1），遞歸樹才終止。

我們先來看看這個遞歸的時間復雜度吧：

遞歸時間復雜度 = 解決一個子問題時間*子問題個數

• 一個子問題時間 =  f（n-1）+f（n-2），也就是一個加法的操作，所以復雜度是 O(1)；
• 問題個數 = 遞歸樹節點的總數，遞歸樹的總節點 = 2^n-1，所以是復雜度O(2^n)。

因此，青蛙跳階，遞歸解法的時間復雜度 = O(1) * O(2^n) =  O(2^n)，就是指數級別的，爆炸增長的，如果n比較大的話，超時很正常的了。

回過頭來，你仔細觀察這顆遞歸樹，你會發現存在大量重復計算，比如f（8）被計算了兩次，f（7）被重復計算了3次...所以這個遞歸算法低效的原因，就是存在大量的重復計算！

既然存在大量重復計算，那么我們可以先把計算好的答案存下來，即造一個備忘錄，等到下次需要的話，先去備忘錄查一下，如果有，就直接取就好了，備忘錄沒有才開始計算，那就可以省去重新重復計算的耗時啦！這就是帶備忘錄的解法。

帶備忘錄的遞歸解法（自頂向下）

一般使用一個數組或者一個哈希map充當這個備忘錄。

第一步，f（10）= f(9) + f(8)，f(9) 和f（8）都需要計算出來，然后再加到備忘錄中，如下：

圖片

第二步，  f(9) = f（8）+ f（7），f（8）= f（7）+ f(6), 因為 f(8) 已經在備忘錄中啦，所以可以省掉，f(7),f（6）都需要計算出來，加到備忘錄中~

圖片

第三步， f(8) = f（7）+ f(6),發現f(8)，f(7),f（6）全部都在備忘錄上了，所以都可以剪掉。

圖片

所以呢，用了備忘錄遞歸算法，遞歸樹變成光禿禿的樹干咯，如下：

圖片

帶備忘錄的遞歸算法，子問題個數=樹節點數=n，解決一個子問題還是O(1),所以帶備忘錄的遞歸算法的時間復雜度是O(n)。接下來呢，我們用帶備忘錄的遞歸算法去擼代碼，解決這個青蛙跳階問題的超時問題咯~，代碼如下：

public class Solution {
    //使用哈希map，充當備忘錄的作用
    Map<Integer, Integer> tempMap = new HashMap();
    public int numWays(int n) {
        // n = 0 也算1種
        if (n == 0) {
            return 1;
        }
        if (n <= 2) {
            return n;
        }
        //先判斷有沒計算過，即看看備忘錄有沒有
        if (tempMap.containsKey(n)) {
            //備忘錄有，即計算過，直接返回
            return tempMap.get(n);
        } else {
            // 備忘錄沒有，即沒有計算過，執行遞歸計算,并且把結果保存到備忘錄map中，對1000000007取余（這個是leetcode題目規定的）
            tempMap.put(n, (numWays(n - 1) + numWays(n - 2)) % 1000000007);
            return tempMap.get(n);
        }
    }
}

去leetcode提交一下，如圖，穩了：

圖片

其實，還可以用動態規劃解決這道題。

自底向上的動態規劃

動態規劃跟帶備忘錄的遞歸解法基本思想是一致的，都是減少重復計算，時間復雜度也都是差不多。但是呢：

• 帶備忘錄的遞歸，是從f(10)往f(1）方向延伸求解的，所以也稱為自頂向下的解法。
• 動態規劃從較小問題的解，由交疊性質，逐步決策出較大問題的解，它是從f(1)往f(10）方向，往上推求解，所以稱為自底向上的解法。

動態規劃有幾個典型特征，最優子結構、狀態轉移方程、邊界、重疊子問題。在青蛙跳階問題中：

• f(n-1)和f(n-2) 稱為 f(n) 的最優子結構
• f(n)= f（n-1）+f（n-2）就稱為狀態轉移方程
• f(1) = 1, f(2) = 2 就是邊界啦
• 比如f(10)= f(9)+f(8),f(9) = f(8) + f(7) ,f(8)就是重疊子問題。

我們來看下自底向上的解法，從f(1)往f(10）方向，想想是不是直接一個for循環就可以解決啦，如下：

圖片

帶備忘錄的遞歸解法，空間復雜度是O(n)，但是呢，仔細觀察上圖，可以發現，f（n）只依賴前面兩個數，所以只需要兩個變量a和b來存儲，就可以滿足需求了，因此空間復雜度是O(1)就可以啦

圖片

動態規劃實現代碼如下：

public class Solution {
    public int numWays(int n) {
        if (n<= 1) {
            return 1;
        }
        if (n == 2) {
            return 2;
        }
        int a = 1;
        int b = 2;
        int temp = 0;
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            temp = (a + b)% 1000000007;
            a = b;
            b = temp;
        }
        return temp;
    }
    }

動態規劃的解題套路

什么樣的問題可以考慮使用動態規劃解決呢？

如果一個問題，可以把所有可能的答案窮舉出來，并且窮舉出來后，發現存在重疊子問題，就可以考慮使用動態規劃。

比如一些求最值的場景，如最長遞增子序列、最小編輯距離、背包問題、湊零錢問題等等，都是動態規劃的經典應用場景。

動態規劃的解題思路

動態規劃的核心思想就是拆分子問題，記住過往，減少重復計算。 并且動態規劃一般都是自底向上的，因此到這里，基于青蛙跳階問題，我總結了一下我做動態規劃的思路：

• 窮舉分析
• 確定邊界
• 找出規律，確定最優子結構
• 寫出狀態轉移方程

1. 窮舉分析

• 當臺階數是1的時候，有一種跳法，f（1） =1
• 當只有2級臺階時，有兩種跳法，第一種是直接跳兩級，第二種是先跳一級，然后再跳一級。即f(2) = 2;
• 當臺階是3級時，想跳到第3級臺階，要么是先跳到第2級，然后再跳1級臺階上去，要么是先跳到第 1級，然后一次邁 2 級臺階上去。所以f(3) = f(2) + f(1) =3
• 當臺階是4級時，想跳到第3級臺階，要么是先跳到第3級，然后再跳1級臺階上去，要么是先跳到第 2級，然后一次邁 2 級臺階上去。所以f(4) = f(3) + f(2) =5
• 當臺階是5級時......

自底向上的動態規劃

2. 確定邊界

通過窮舉分析，我們發現，當臺階數是1的時候或者2的時候，可以明確知道青蛙跳法。f（1） =1，f(2) = 2，當臺階n>=3時，已經呈現出規律f(3) = f(2) + f(1) =3，因此f（1） =1，f(2) = 2就是青蛙跳階的邊界。

3. 找規律，確定最優子結構

n>=3時，已經呈現出規律 f(n) = f(n-1) + f(n-2) ，因此，f(n-1)和f(n-2) 稱為 f(n) 的最優子結構。什么是最優子結構？有這么一個解釋：

一道動態規劃問題，其實就是一個遞推問題。假設當前決策結果是f(n),則最優子結構就是要讓 f(n-k) 最優,最優子結構性質就是能讓轉移到n的狀態是最優的,并且與后面的決策沒有關系,即讓后面的決策安心地使用前面的局部最優解的一種性質

4. 寫出狀態轉移方程

通過前面3步，窮舉分析，確定邊界，最優子結構，我們就可以得出狀態轉移方程啦：

圖片

5. 代碼實現

我們實現代碼的時候，一般注意從底往上遍歷哈，然后關注下邊界情況，空間復雜度，也就差不多啦。動態規劃有個框架的，大家實現的時候，可以考慮適當參考一下：

dp[0][0][...] = 邊界值
for(狀態1 ：所有狀態1的值){
    for(狀態2 ：所有狀態2的值){
        for(...){
          //狀態轉移方程
          dp[狀態1][狀態2][...] = 求最值
        }
    }
}

leetcode案例分析

我們一起來分析一道經典leetcode題目吧

給你一個整數數組 nums ，找到其中最長嚴格遞增子序列的長度。

示例 1：

輸入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
輸出：4
解釋：最長遞增子序列是 [2,3,7,101]，因此長度為 4 。

示例 2：

輸入：nums = [0,1,0,3,2,3]
輸出：4

我們按照以上動態規劃的解題思路，

• 窮舉分析
• 確定邊界
• 找規律，確定最優子結構
• 狀態轉移方程

1.窮舉分析

因為動態規劃，核心思想包括拆分子問題，記住過往，減少重復計算。 所以我們在思考原問題：數組num[i]的最長遞增子序列長度時，可以思考下相關子問題，比如原問題是否跟子問題num[i-1]的最長遞增子序列長度有關呢？

自底向上的窮舉

這里觀察規律，顯然是有關系的，我們還是遵循動態規劃自底向上的原則，基于示例1的數據，從數組只有一個元素開始分析。

• 當nums只有一個元素10時，最長遞增子序列是[10],長度是1.
• 當nums需要加入一個元素9時，最長遞增子序列是[10]或者[9],長度是1。
• 當nums再加入一個元素2時，最長遞增子序列是[10]或者[9]或者[2],長度是1。
• 當nums再加入一個元素5時，最長遞增子序列是[2,5],長度是2。
• 當nums再加入一個元素3時，最長遞增子序列是[2,5]或者[2,3],長度是2。
• 當nums再加入一個元素7時，,最長遞增子序列是[2,5,7]或者[2,3,7],長度是3。
• 當nums再加入一個元素101時，最長遞增子序列是[2,5,7,101]或者[2,3,7,101],長度是4。
• 當nums再加入一個元素18時，最長遞增子序列是[2,5,7,101]或者[2,3,7,101]或者[2,5,7,18]或者[2,3,7,18],長度是4。
• 當nums再加入一個元素7時,最長遞增子序列是[2,5,7,101]或者[2,3,7,101]或者[2,5,7,18]或者[2,3,7,18],長度是4.

分析找規律，拆分子問題

通過上面分析，我們可以發現一個規律：

如果新加入一個元素nums[i], 最長遞增子序列要么是以nums[i]結尾的遞增子序列，要么就是nums[i-1]的最長遞增子序列。看到這個，是不是很開心，nums[i]的最長遞增子序列已經跟子問題 nums[i-1]的最長遞增子序列有關聯了。

原問題數組nums[i]的最長遞增子序列 = 子問題數組nums[i-1]的最長遞增子序列/nums[i]結尾的最長遞增子序列

是不是感覺成功了一半呢？但是如何把nums[i]結尾的遞增子序列也轉化為對應的子問題呢？要是nums[i]結尾的遞增子序列也跟nums[i-1]的最長遞增子序列有關就好了。又或者nums[i]結尾的最長遞增子序列，跟前面子問題num[j]（0=<j<i）結尾的最長遞增子序列有關就好了，帶著這個想法，我們又回頭看看窮舉的過程：

圖片

nums[i]的最長遞增子序列，不就是從以數組num[i]每個元素結尾的最長子序列集合，取元素最多（也就是長度最長）那個嘛，所以原問題，我們轉化成求出以數組nums每個元素結尾的最長子序列集合，再取最大值嘛。哈哈，想到這，我們就可以用dp[i]表示以num[i]這個數結尾的最長遞增子序列的長度啦，然后再來看看其中的規律：

圖片

其實，nums[i]結尾的自增子序列，只要找到比nums[i]小的子序列，加上nums[i] 就可以啦。顯然，可能形成多種新的子序列，我們選最長那個，就是dp[i]的值啦

• nums[3]=5,以5結尾的最長子序列就是[2,5],因為從數組下標0到3遍歷，只找到了子序列[2]比5小，所以就是[2]+[5]啦，即dp[4]=2
• nums[4]=3,以3結尾的最長子序列就是[2,3],因為從數組下標0到4遍歷，只找到了子序列[2]比3小，所以就是[2]+[3]啦，即dp[4]=2
• nums[5]=7，以7結尾的最長子序列就是[2,5,7]和[2,3,7],因為從數組下標0到5遍歷，找到2,5和3都比7小，所以就有[2,7],[5,7],[3,7],[2,5,7]和[2,3,7]這些子序列，最長子序列就是[2,5,7]和[2,3,7]，它倆不就是以5結尾和3結尾的最長遞增子序列+[7]來的嘛！所以，dp[5]=3 =dp[3]+1=dp[4]+1。

很顯然有這個規律：一個以nums[i]結尾的數組nums

• 如果存在j屬于區間[0，i-1],并且num[i]>num[j]的話，則有:
  dp(i) =max(dp(j))+1，

最簡單的邊界情況

當nums數組只有一個元素時，最長遞增子序列的長度dp(1)=1,當nums數組有兩個元素時，dp(2) =2或者1， 因此邊界就是dp(1)=1。

確定最優子結構

從窮舉分析，我們可以得出，以下的最優結構：

dp(i) =max(dp(j))+1，存在j屬于區間[0，i-1],并且num[i]>num[j]。

max(dp(j)) 就是最優子結構。

狀態轉移方程

通過前面分析，我們就可以得出狀態轉移方程啦：

圖片

所以數組nums[i]的最長遞增子序列就是：

最長遞增子序列 =max(dp[i])

代碼實現

class Solution {
    public int lengthOfLIS(int[] nums) {
        if (nums.length == 0) {
            return 0;
        }
        int[] dp = new int[nums.length];
        //初始化就是邊界情況
        dp[0] = 1;
        int maxans = 1;
        //自底向上遍歷
        for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
            dp[i] = 1;
            //從下標0到i遍歷
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                //找到前面比nums[i]小的數nums[j],即有dp[i]= dp[j]+1
                if (nums[j] < nums[i]) {
                    //因為會有多個小于nums[i]的數，也就是會存在多種組合了嘛，我們就取最大放到dp[i]
                    dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
                }
            }
            //求出dp[i]后，dp最大那個就是nums的最長遞增子序列啦
            maxans = Math.max(maxans, dp[i]);
        }
        return maxans;
    }
}