一種基于小波神經算子WNO的深度學習模型，用于求解一維Nagumo方程（一種反應-擴散方程）的時空演化問題。該問題被重構為二維處理，其中空間和時間維度分別作為兩個輸入維度。首先加載并預處理Nagumo方程的模擬數(shù)據(jù)，包括初始條件和對應解；然后定義了一個基于連續(xù)小波變換的二維WNO網絡結構，該網絡通過多層小波卷積和線性變換學習從輸入（初始條件與時空網格）到輸出（解場）的映射；模型支持在不同分辨率（亞采樣、訓練分辨率、超分辨率）上進行訓練和零樣本泛化測試；此外還包含基于隨機投影的梯度自由方法（用于物理信息約束的損失計算）以及結果的可視化部分。

該算法的應用領域較為廣泛，主要集中于科學計算和工程領域的復雜系統(tǒng)建模與仿真，特別是涉及偏微分方程描述的物理過程。其核心應用包括計算流體力學中的湍流模擬、傳熱傳質分析、氣象預報中的天氣模式建模、金融數(shù)學中的期權定價模型（如Black-Scholes方程）、生物數(shù)學中的種群動力學與pattern formation研究（如Nagumo方程本身描述的神經脈沖傳播或生態(tài)競爭），以及材料科學中的相場模擬等。該算法通過融合小波分析的多分辨率特性和神經算子的泛化能力，能夠高效學習高維參數(shù)化PDE的解算子，適用于需要快速推演、多尺度建模或數(shù)據(jù)與物理規(guī)律融合的復雜科學計算場景。

算法的詳細步驟如下：

首先進行數(shù)據(jù)準備：加載預先計算好的Nagumo方程數(shù)據(jù)集，包含初始條件和解場；對空間和時間網格進行插值處理以適應網絡輸入尺寸；劃分訓練集與測試集。

接著進行數(shù)據(jù)預處理：對輸入數(shù)據(jù)進行子采樣以構建不同分辨率的數(shù)據(jù)集；使用高斯歸一化器對輸入和解場進行標準化處理；將標準化后的初始條件與時空網格坐標拼接作為網絡輸入。

然后構建網絡模型：定義二維連續(xù)小波卷積層，初始化小波濾波器及變換參數(shù)；通過多層小波卷積與線性變換構建編碼-解碼結構的WNO網絡；設置網絡參數(shù)如小波類型、分解層數(shù)、通道數(shù)等。

隨后進行模型訓練：若為數(shù)據(jù)驅動模式，直接使用解場的均方誤差作為損失函數(shù)；若為物理信息模式，采用隨機投影梯度自由方法計算物理約束損失；使用Adam優(yōu)化器進行訓練，并采用學習率衰減策略。

訓練完成后進行模型預測：加載訓練好的模型參數(shù)；對測試集進行預測并將輸出反歸一化；計算預測解與真實解之間的相對誤差。

最后進行結果分析：在多分辨率設置下進行零樣本泛化測試；可視化不同分辨率下的預測結果、真實解及誤差分布；生成三維曲面圖對比時空演化過程。

本文轉載自??高斯的手稿??