浮點數的二進制表示
浮點數是屬于有理數中某特定子集的數的數字表示，在計算機中用以近似表示任意某個實數。具體的說，這個實數由一個整數或定點數（即尾數）乘以某個基數（計算機中通常是2）的整數次冪得到，這種表示方法類似于基數為10的科學記數法。
前幾天，我在讀一本C語言教材，有一道例題：
- #include <stdio.h>
- void main(void){
- int num=9; /* num是整型變量，設為9 */
- float* pFloat=# /* pFloat表示num的內存地址，但是設為浮點數 */
- printf("num的值為：%d\n",num); /* 顯示num的整型值 */
- printf("*pFloat的值為：%f\n",*pFloat); /* 顯示num的浮點值 */
- *pFloat=9.0; /* 將num的值改為浮點數 */
- printf("num的值為：%d\n",num); /* 顯示num的整型值 */
- printf("*pFloat的值為：%f\n",*pFloat); /* 顯示num的浮點值 */
- }
運行結果如下：
- num的值為：9
- *pFloat的值為：0.000000
- num的值為：1091567616
- *pFloat的值為：9.000000
我很驚訝，num和*pFloat在內存中明明是同一個數，為什么浮點數和整數的解讀結果會差別這么大？
要理解這個結果，一定要搞懂浮點數在計算機內部的表示方法。我讀了一些資料，下面就是我的筆記。
1、在討論浮點數之前，先看一下整數在計算機內部是怎樣表示的。
- int num=9;
上面這條命令，聲明了一個整數變量，類型為int，值為9（二進制寫法為1001）。普通的32位計算機，用4個字節表示int變量，所以9就被保存為00000000 00000000 00000000 00001001，寫成16進制就是0x00000009。
那么，我們的問題就簡化成：為什么0x00000009還原成浮點數，就成了0.000000？
2、根據國際標準IEEE 754，任意一個二進制浮點數V可以表示成下面的形式：
V = (-1)^s×M×2^E
（1）(-1)^s表示符號位，當s=0，V為正數；當s=1，V為負數。
（2）M表示有效數字，大于等于1，小于2。
（3）2^E表示指數位。
舉例來說，十進制的5.0，寫成二進制是101.0，相當于1.01×2^2。那么，按照上面V的格式，可以得出s=0，M=1.01，E=2。
十進制的-5.0，寫成二進制是-101.0，相當于-1.01×2^2。那么，s=1，M=1.01，E=2。
IEEE 754規定，對于32位的浮點數，***的1位是符號位s，接著的8位是指數E，剩下的23位為有效數字M。
對于64位的浮點數，***的1位是符號位S，接著的11位是指數E，剩下的52位為有效數字M。
3、IEEE 754對有效數字M和指數E，還有一些特別規定。
前面說過，1≤M<2，也就是說，M可以寫成1.xxxxxx的形式，其中xxxxxx表示小數部分。IEEE 754規定，在計算機內部保存M時，默認這個數的***位總是1，因此可以被舍去，只保存后面的xxxxxx部分。比如保存1.01的時候，只保存01，等到讀取的時候，再把***位的1加上去。這樣做的目的，是節省1位有效數字。以32位浮點數為例，留給M只有23位，將***位的1舍去以后，等于可以保存24位有效數字。
至于指數E，情況就比較復雜。
首先，E為一個無符號整數（unsigned int）。這意味著，如果E為8位，它的取值范圍為0~255；如果E為11位，它的取值范圍為0~2047。但是，我們知道，科學計數法中的E是可以出現負數的，所以IEEE 754規定，E的真實值必須再減去一個中間數，對于8位的E，這個中間數是127；對于11位的E，這個中間數是1023。
比如，2^10的E是10，所以保存成32位浮點數時，必須保存成10+127=137，即10001001。
然后，指數E還可以再分成三種情況：
（1）E不全為0或不全為1。這時，浮點數就采用上面的規則表示，即指數E的計算值減去127（或1023），得到真實值，再將有效數字M前加上***位的1。
（2）E全為0。這時，浮點數的指數E等于1-127（或者1-1023），有效數字M不再加上***位的1，而是還原為0.xxxxxx的小數。這樣做是為了表示±0，以及接近于0的很小的數字。
（3）E全為1。這時，如果有效數字M全為0，表示±無窮大（正負取決于符號位s）；如果有效數字M不全為0，表示這個數不是一個數（NaN）。
4、好了，關于浮點數的表示規則，就說到這里。
下面，讓我們回到一開始的問題：為什么0x00000009還原成浮點數，就成了0.000000？
首先，將0x00000009拆分，得到***位符號位s=0，后面8位的指數E=00000000，***23位的有效數字M=000 0000 0000 0000 0000 1001。
由于指數E全為0，所以符合上一節的第二種情況。因此，浮點數V就寫成：
V=(-1)^0×0.00000000000000000001001×2^(-126)=1.001×2^(-146)
顯然，V是一個很小的接近于0的正數，所以用十進制小數表示就是0.000000。
5、再看例題的第二部分。
請問浮點數9.0，如何用二進制表示？還原成十進制又是多少？
首先，浮點數9.0等于二進制的1001.0，即1.001×2^3。
那么，***位的符號位s=0，有效數字M等于001后面再加20個0，湊滿23位，指數E等于3+127=130，即10000010。
所以，寫成二進制形式，應該是s+E+M，即0 10000010 001 0000 0000 0000 0000 0000。這個32位的二進制數，還原成十進制，正是1091567616。
原文地址：http://www.ruanyifeng.com/blog/2010/06/ieee_floating-point_representation.html
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