機器學習中的數學(4)-線性判別和主成分分析
第二篇的文章中談到，和部門老大一寧出去outing的時候，他給了我相當多的機器學習的建議，里面涉及到很多的算法的意義、學習方法等等。一寧上次給我提到，如果學習分類算法，***從線性的入手，線性分類器最簡單的就是LDA，它可以看做是簡化版的SVM，如果想理解SVM這種分類器，那理解LDA就是很有必要的了。
談到LDA，就不得不談談PCA，PCA是一個和LDA非常相關的算法，從推導、求解、到算法最終的結果，都有著相當的相似。
LDA
LDA的全稱是Linear Discriminant Analysis（線性判別分析），是一種supervised learning。有些資料上也稱為是Fisher’s Linear Discriminant，因為它被Ronald Fisher發明自1936年，Discriminant這次詞我個人的理解是，一個模型，不需要去通過概率的方法來訓練、預測數據，比如說各種貝葉斯方法，就需要獲取數據的先驗、后驗概率等等。LDA是在目前機器學習、數據挖掘領域經典且熱門的一個算法，據我所知，百度的商務搜索部里面就用了不少這方面的算法。
LDA的原理是，將帶上標簽的數據（點），通過投影的方法，投影到維度更低的空間中，使得投影后的點，會形成按類別區分，一簇一簇的情況，相同類別的點，將會在投影后的空間中更接近。要說明白LDA，首先得弄明白線性分類器(Linear Classifier)：因為LDA是一種線性分類器。對于K-分類的一個分類問題，會有K個線性函數：
當滿足條件：對于所有的j，都有Yk > Yj,的時候，我們就說x屬于類別k。對于每一個分類，都有一個公式去算一個分值，在所有的公式得到的分值中，找一個***的，就是所屬的分類了。
上式實際上就是一種投影，是將一個高維的點投影到一條高維的直線上，LDA最求的目標是，給出一個標注了類別的數據集，投影到了一條直線之后，能夠使得點盡量的按類別區分開，當k=2即二分類問題的時候，如下圖所示：
紅色的方形的點為0類的原始點、藍色的方形點為1類的原始點，經過原點的那條線就是投影的直線，從圖上可以清楚的看到，紅色的點和藍色的點被原點明顯的分開了，這個數據只是隨便畫的，如果在高維的情況下，看起來會更好一點。下面我來推導一下二分類LDA問題的公式：
假設用來區分二分類的直線（投影函數)為：
LDA分類的一個目標是使得不同類別之間的距離越遠越好，同一類別之中的距離越近越好，所以我們需要定義幾個關鍵的值。
類別i投影后的中心點為：
衡量類別i投影后，類別點之間的分散程度（方差）為：
最終我們可以得到一個下面的公式，表示LDA投影到w后的損失函數：
我們分類的目標是，使得類別內的點距離越近越好（集中），類別間的點越遠越好。分母表示每一個類別內的方差之和，方差越大表示一個類別內的點越分散，分子為兩個類別各自的中心點的距離的平方，我們***化J(w)就可以求出***的w了。想要求出***的w，可以使用拉格朗日乘子法，但是現在我們得到的J(w)里面，w是不能被單獨提出來的，我們就得想辦法將w單獨提出來。
我們定義一個投影前的各類別分散程度的矩陣，這個矩陣看起來有一點麻煩，其實意思是，如果某一個分類的輸入點集Di里面的點距離這個分類的中心店mi越近，則Si里面元素的值就越小，如果分類的點都緊緊地圍繞著mi，則Si里面的元素值越更接近0.
帶入Si，將J(w)分母化為：
同樣的將J(w)分子化為：
這樣損失函數可以化成下面的形式：
這樣就可以用最喜歡的拉格朗日乘子法了，但是還有一個問題，如果分子、分母是都可以取任意值的，那就會使得有無窮解，我們將分母限制為長度為1（這是用拉格朗日乘子法一個很重要的技巧，在下面將說的PCA里面也會用到，如果忘記了，請復習一下高數），并作為拉格朗日乘子法的限制條件，帶入得到：
這樣的式子就是一個求特征值的問題了。
對于N(N>2)分類的問題，我就直接寫出下面的結論了：
這同樣是一個求特征值的問題，我們求出的第i大的特征向量，就是對應的Wi了。
這里想多談談特征值，特征值在純數學、量子力學、固體力學、計算機等等領域都有廣泛的應用，特征值表示的是矩陣的性質，當我們取到矩陣的前N個***的特征值的時候，我們可以說提取到的矩陣主要的成分（這個和之后的PCA相關，但是不是完全一樣的概念）。在機器學習領域，不少的地方都要用到特征值的計算，比如說圖像識別、pagerank、LDA、還有之后將會提到的PCA等等。
下圖是圖像識別中廣泛用到的特征臉（eigen face），提取出特征臉有兩個目的，首先是為了壓縮數據，對于一張圖片，只需要保存其最重要的部分就是了，然后是為了使得程序更容易處理，在提取主要特征的時候，很多的噪聲都被過濾掉了。跟下面將談到的PCA的作用非常相關。
特征值的求法有很多，求一個D * D的矩陣的時間復雜度是O(D^3), 也有一些求Top M的方法，比如說power method，它的時間復雜度是O(D^2 * M), 總體來說，求特征值是一個很費時間的操作，如果是單機環境下，是很局限的。
PCA：
主成分分析（PCA）與LDA有著非常近似的意思，LDA的輸入數據是帶標簽的，而PCA的輸入數據是不帶標簽的，所以PCA是一種unsupervised learning。LDA通常來說是作為一個獨立的算法存在，給定了訓練數據后，將會得到一系列的判別函數（discriminate function），之后對于新的輸入，就可以進行預測了。而PCA更像是一個預處理的方法，它可以將原本的數據降低維度，而使得降低了維度的數據之間的方差***（也可以說投影誤差最小，具體在之后的推導里面會談到）。
方差這個東西是個很有趣的，有些時候我們會考慮減少方差（比如說訓練模型的時候，我們會考慮到方差-偏差的均衡），有的時候我們會盡量的增大方差。方差就像是一種信仰（強哥的話），不一定會有很嚴密的證明，從實踐來說，通過盡量增大投影方差的PCA算法，確實可以提高我們的算法質量。
說了這么多，推推公式可以幫助我們理解。我下面將用兩種思路來推導出一個同樣的表達式。首先是***化投影后的方差，其次是最小化投影后的損失（投影產生的損失最小）。
***化方差法：
假設我們還是將一個空間中的點投影到一個向量中去。首先，給出原空間的中心點：
上面這個式子如果看懂了之前推導LDA的過程，應該比較容易理解，如果線性代數里面的內容忘記了，可以再溫習一下，優化上式等號右邊的內容，還是用拉格朗日乘子法：
這是一個標準的特征值表達式了，λ對應的特征值，u對應的特征向量。上式的左邊取得***值的條件就是λ1***，也就是取得***的特征值的時候。假設我們是要將一個D維的數據空間投影到M維的數據空間中（M < D)， 那我們取前M個特征向量構成的投影矩陣就是能夠使得方差***的矩陣了。
最小化損失法：
假設輸入數據x是在D維空間中的點，那么，我們可以用D個正交的D維向量去完全的表示這個空間（這個空間中所有的向量都可以用這D個向量的線性組合得到）。在D維空間中，有無窮多種可能找這D個正交的D維向量，哪個組合是最合適的呢？
假設我們已經找到了這D個向量，可以得到：
上式表示，得到的新的x是由前M 個基的線性組合加上后D - M個基的線性組合，注意這里的z是對于每個x都不同的，而b對于每個x是相同的，這樣我們就可以用M個數來表示空間中的一個點，也就是使得數據降維了。但是這樣降維后的數據，必然會產生一些扭曲，我們用J描述這種扭曲，我們的目標是，使得J最小：
上式的意思很直觀，就是對于每一個點，將降維后的點與原始的點之間的距離的平方和加起來，求平均值，我們就要使得這個平均值最小。我們令：
再用上拉普拉斯乘子法（此處略），可以得到，取得我們想要的投影基的表達式為：
這里又是一個特征值的表達式，我們想要的前M個向量其實就是這里***的M個特征值所對應的特征向量。證明這個還可以看看，我們J可以化為：
也就是當誤差J是由最小的D - M個特征值組成的時候，J取得最小值。跟上面的意思相同。
下圖是PCA的投影的一個表示，黑色的點是原始的點，帶箭頭的虛線是投影的向量，Pc1表示特征值***的特征向量，pc2表示特征值次大的特征向量，兩者是彼此正交的，因為這原本是一個2維的空間，所以最多有兩個投影的向量，如果空間維度更高，則投影的向量會更多。
總結：
本次主要講了兩種方法，PCA與LDA，兩者的思想和計算方法非常類似，但是一個是作為獨立的算法存在，另一個更多的用于數據的預處理的工作。另外對于PCA和LDA還有核方法，本次的篇幅比較大了，先不說了，以后有時間再談：
原文鏈接：http://www.cnblogs.com/LeftNotEasy/archive/2011/01/08/lda-and-pca-machine-learning.html
