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本文提綱

1. 什么是矩陣

2. 矩陣在現實應用場景

3. 矩陣表示

4. 矩陣運算

5. 理解矩陣乘法

一、 什么是矩陣

一個 m × n 的矩陣是一個由 m 行 n 列元素排列成的矩形陣列。以下是一個由 6 個數字元素構成的 2 行 3 列的矩陣：

矩陣屬于線性代數數學分支。線性代數是關于向量空間和線性映射的一個數學分支。它包括對線、面和子空間的研究，同時也涉及到所有的向量空間的一般性質。表面上，排成矩形的數字就是個矩陣。實際，矩陣是有限維線性空間的線性變換的表示形式。它代表著空間到空間的映射。

二、 矩陣在現實應用場景

在程序中，配合矩陣模擬真實數據，并可以實現如下功能：二維圖形變換、人臉變換、人臉識別、信息轉換等。比如一張圖片，簡單的黑白圖只有黑色和白色構成，是不是可以有 1 0 兩個數值的二維矩陣來表示呢?自然，尤其在圖像處理里面，圖像信息是用二維矩陣數據。

矩陣分析，是一種方便的計算工具，可以以簡單的形式表達復雜的信息。

三、 矩陣表達式

我們選擇 Python 作為代碼演示案例。利用的是 NumPy 庫。什么是 NumPy?

NumPy 是一個基礎科學的計算包，包含：

• 一個強大的N維數組對象
• sophisticated (broadcasting) functions
• tools for integrating C/C++ and Fortran code
• 有用的線性代數、傅立葉轉換和隨機數生成函數

在代碼中，導入 numpy 函數。

比如下面展示 1 × 2 和 2 × 2 的矩陣。調用 shape 方法，可獲取矩陣的大小。同樣，numpy 方便了我們很多操作。可以直接創建全 0 矩陣、全 1 矩陣和單元矩陣。代碼 matrix_exp.py 如下：

# -*- coding: utf-8 -*- 
 
# 導入 numpy 函數，以 np 開頭 
import numpy as np 
 
if __name__ == '__main__': 
    mat1 = np.array([1, 3]) 
    mat1 = np.mat(mat1)  # 相當于 np.mat([1,3])， mat 函數將目標數據的類型轉換為矩陣（matrix） 
    print mat1 
    # 1 行 2 列的矩陣（也稱 1 * 2 矩陣） 
    # ==> [[1 3]] 
 
    print 
 
    mat2 = np.array([[1, 3], [3, 4]]) 
    mat2 = np.mat(mat2) 
    print mat2 
    # 2 * 2 矩陣 
    # ==> [[1 3] 
    # ==>  [3 4]] 
 
    # 獲取矩陣的大小 
    print mat1.shape 
    print mat2.shape 
 
    print 
 
    mat3 = np.zeros((2, 3))  # 2 * 3 的全 0 矩陣 
    mat4 = np.ones((3, 2))   # 3 * 2 的全 1 矩陣 
    mat5 = np.identity(3)    # 3 * 3 的單元矩陣 
    mat6 = np.eye(3, 3, 0)   # eye(N, M=None, k=0, dtype=float) 對角線是 1 其余值為 0 的矩陣, k 指定對角線的位置 
    print mat3 
    print mat4 
    print mat5 
    print mat6 

右鍵，Run 可得到下面結果：

[[1 3]] 
[[1 3] 
 [3 4]] 
(1, 2) 
(2, 2) 
[[ 0.  0.  0.] 
 [ 0.  0.  0.]] 
[[ 1.  1.] 
 [ 1.  1.] 
 [ 1.  1.]] 
[[ 1.  0.  0.] 
 [ 0.  1.  0.] 
 [ 0.  0.  1.]] 
[[ 1.  0.  0.] 
 [ 0.  1.  0.] 
 [ 0.  0.  1.]] 

如上注解詳細解釋了方法的使用。

「提示」代碼共享在 GitHub：https://github.com/JeffLi1993/robot-mumu

四、 矩陣運算

矩陣運算包括了加減乘除、轉置、逆矩陣、行列式、矩陣的冪、伴隨矩陣等。

矩陣加法、減法、數量乘法規則如下：(和向量的運算規則一樣)

• -A = (-1)A
• A - B = A + (-B)
• 2A + 3B = (2A)+ (3B)

比如下面展示下 矩陣與矩陣相乘、矩陣求逆、轉置矩陣及每行或每列求和的運算。代碼 matrix_op.py 如下：

# -*- coding: utf-8 -*- 
 
# 導入 numpy 函數，以 np 開頭 
import numpy as np 
 
if __name__ == '__main__': 
    # 矩陣相乘 
    mat1 = np.mat([1, 3]) 
    mat2 = np.mat([[3], [4]]) 
    mat3 = mat1 * mat2 
    print mat3 
    # 1 * 2 矩陣乘以 2 * 1 矩陣，得到 1 * 1 矩陣 
    # ==> [[15]] 
 
    print 
 
    # 矩陣求逆 
    mat4 = np.mat([[1, 0, 1], [0, 2, 1], [1, 1, 1]]) 
    mat5 = mat4.I  # I 對應 getI(self) ，返回可逆矩陣的逆 
    print mat5 
    # 矩陣的逆 
    # ==> [[-1. -1.  2.] 
    # ==>  [-1.  0.  1.] 
    # ==>  [ 2.  1. -2.]] 
 
    print 
 
    # 轉置矩陣 
    mat6 = np.mat([[1, 1, 1], [0, 2, 1], [1, 1, 1]]) 
    mat7 = mat6.T  # I 對應 getT(self) ，返回矩陣的轉置矩陣 
    print mat7 
    # 矩陣的轉置矩陣 
    # ==> [[1 0 1] 
    # ==>  [1 2 1] 
    # ==>  [1 1 1]] 
 
    print 
 
    # 矩陣每一列的和 
    sum1 = mat6.sum(axis=0) 
    print sum1 
    # 矩陣每一行的和 
    sum2 = mat6.sum(axis=1) 
    print sum2 
    # 矩陣所有行列的總和 
    sum3 = sum(mat6[1, :]) 
    print sum3 
 
    print 
 
    # 矩陣與數組之間的轉換 
    mat8 = np.mat([[1, 2, 3]]) 
    arr1 = np.array(mat8)  # 矩陣轉換成數組 
    print arr1 
    arr2 = [1, 2, 3] 
    mat9 = np.mat(arr2)  # 數組轉換成矩陣 
    print mat9 

右鍵，Run 可得到下面結果：

[[15]]  
[[-1. -1. 2.]  
[-1. 0. 1.]  
[ 2. 1. -2.]]  
[[1 0 1]  
[1 2 1]  
[1 1 1]]  
[[2 4 3]]  
[[3]  
[3]  
[3]]  
[[0 2 1]]  
[[1 2 3]]  
[[1 2 3]] 

五、 理解矩陣和向量乘法

從解多元方程組可以看出

【本文為51CTO專欄作者“李強強”的原創稿件，轉載請通過51CTO聯系作者獲取授權】

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