相關分析(Analysis of Correlation)是網站分析中經常使用的分析方法之一。通過對不同特征或數據間的關系進行分析，發現業務運營中的關鍵影響及驅動因素。并對業務的發展進行預測。本篇文章將介紹5種常用的分析方法。在開始介紹相關分析之前，需要特別說明的是相關關系不等于因果關系。

相關分析的方法很多，初級的方法可以快速發現數據之間的關系，如正相關，負相關或不相關。中級的方法可以對數據間關系的強弱進行度量，如完全相關，不完全相關等。高級的方法可以將數據間的關系轉化為模型，并通過模型對未來的業務發展進行預測。下面我們以一組廣告的成本數據和曝光量數據對每一種相關分析方法進行介紹。

以下是每日廣告曝光量和費用成本的數據，每一行代表一天中的花費和獲得的廣告曝光數量。憑經驗判斷，這兩組數據間應該存在聯系，但僅通過這兩組數據我們無法證明這種關系真實存在，也無法對這種關系的強度進行度量。因此我們希望通過相關分析來找出這兩組數據之間的關系，并對這種關系進度度量。

1.圖表相關分析(折線圖及散點圖)

***種相關分析方法是將數據進行可視化處理，簡單的說就是繪制圖表。單純從數據的角度很難發現其中的趨勢和聯系，而將數據點繪制成圖表后趨勢和聯系就會變的清晰起來。對于有明顯時間維度的數據，我們選擇使用折線圖。

為了更清晰的對比這兩組數據的變化和趨勢，我們使用雙坐標軸折線圖，其中主坐標軸用來繪制廣告曝光量數據，次坐標軸用來繪制費用成本的數據。通過折線圖可以發現，費用成本和廣告曝光量兩組數據的變化和趨勢大致相同，從整體的大趨勢來看，費用成本和廣告曝光量兩組數據都呈現增長趨勢。從規律性來看費用成本和廣告曝光量數據每次的***點都出現在同一天。從細節來看，兩組數據的短期趨勢的變化也基本一致。

經過以上這些對比，我們可以說廣告曝光量和費用成本之間有一些相關關系，但這種方法在整個分析過程和解釋上過于復雜，如果換成復雜一點的數據或者相關度較低的數據就會出現很多問題。

比折線圖更直觀的是散點圖。散點圖去除了時間維度的影響，只關注廣告曝光量和費用成本這里兩組數據間的關系。在繪制散點圖之前，我們將費用成本標識為X，也就是自變量，將廣告曝光量標識為y，也就是因變量。下面是一張根據每一天中廣告曝光量和費用成本數據繪制的散點圖，X軸是自變量費用成本數據，Y軸是因變量廣告曝光量數據。從數據點的分布情況可以發現，自變量x和因變量y有著相同的變化趨勢，當費用成本的增加后，廣告曝光量也隨之增加。

折線圖和散點圖都清晰的表示了廣告曝光量和費用成本兩組數據間的相關關系，優點是對相關關系的展現清晰，缺點是無法對相關關系進行準確的度量，缺乏說服力。并且當數據超過兩組時也無法完成各組數據間的相關分析。若要通過具體數字來度量兩組或兩組以上數據間的相關關系，需要使用第二種方法：協方差。

2.協方差及協方差矩陣

第二種相關分析方法是計算協方差。協方差用來衡量兩個變量的總體誤差，如果兩個變量的變化趨勢一致，協方差就是正值，說明兩個變量正相關。如果兩個變量的變化趨勢相反，協方差就是負值，說明兩個變量負相關。如果兩個變量相互獨立，那么協方差就是0，說明兩個變量不相關。以下是協方差的計算公式：

下面是廣告曝光量和費用成本間協方差的計算過程和結果，經過計算，我們得到了一個很大的正值，因此可以說明兩組數據間是正相關的。廣告曝光量隨著費用成本的增長而增長。在實際工作中不需要按下面的方法來計算，可以通過Excel中COVAR()函數直接獲得兩組數據的協方差值。

協方差只能對兩組數據進行相關性分析，當有兩組以上數據時就需要使用協方差矩陣。下面是三組數據x，y，z，的協方差矩陣計算公式。

協方差通過數字衡量變量間的相關性，正值表示正相關，負值表示負相關。但無法對相關的密切程度進行度量。當我們面對多個變量時，無法通過協方差來說明那兩組數據的相關性***。要衡量和對比相關性的密切程度，就需要使用下一個方法：相關系數。

3.相關系數

第三個相關分析方法是相關系數。相關系數(Correlation coefficient)是反應變量之間關系密切程度的統計指標，相關系數的取值區間在1到-1之間。1表示兩個變量完全線性相關，-1表示兩個變量完全負相關，0表示兩個變量不相關。數據越趨近于0表示相關關系越弱。以下是相關系數的計算公式。

其中rxy表示樣本相關系數，Sxy表示樣本協方差，Sx表示X的樣本標準差，Sy表示y的樣本標準差。下面分別是Sxy協方差和Sx和Sy標準差的計算公式。由于是樣本協方差和樣本標準差，因此分母使用的是n-1。

Sxy樣本協方差計算公式：

Sx樣本標準差計算公式：

Sy樣本標準差計算公式：

下面是計算相關系數的過程，在表中我們分別計算了x，y變量的協方差以及各自的標準差，并求得相關系數值為0.93。0.93大于0說明兩個變量間正相關，同時0.93非常接近于1，說明兩個變量間高度相關。

在實際工作中，不需要上面這么復雜的計算過程，在Excel的數據分析模塊中選擇相關系數功能，設置好x，y變量后可以自動求得相關系數的值。在下面的結果中可以看到，廣告曝光量和費用成本的相關系數與我們手動求的結果一致。

相關系數的優點是可以通過數字對變量的關系進行度量，并且帶有方向性，1表示正相關，-1表示負相關，可以對變量關系的強弱進行度量，越靠近0相關性越弱。缺點是無法利用這種關系對數據進行預測，簡單的說就是沒有對變量間的關系進行提煉和固化，形成模型。要利用變量間的關系進行預測，需要使用到下一種相關分析方法，回歸分析。

4.一元回歸及多元回歸

第四種相關分析方法是回歸分析。回歸分析(regression analysis)是確定兩組或兩組以上變量間關系的統計方法。回歸分析按照變量的數量分為一元回歸和多元回歸。兩個變量使用一元回歸，兩個以上變量使用多元回歸。進行回歸分析之前有兩個準備工作，***確定變量的數量。第二確定自變量和因變量。我們的數據中只包含廣告曝光量和費用成本兩個變量，因此使用一元回歸。根據經驗廣告曝光量是隨著費用成本的變化而改變的，因此將費用成本設置為自變量x，廣告曝光量設置為因變量y。

以下是一元回歸方程，其中y表示廣告曝光量，x表示費用成本。b0為方程的截距，b1為斜率，同時也表示了兩個變量間的關系。我們的目標就是b0和b1的值，知道了這兩個值也就知道了變量間的關系。并且可以通過這個關系在已知成本費用的情況下預測廣告曝光量。

這是b1的計算公式，我們通過已知的費用成本x和廣告曝光量y來計算b1的值。

以下是通過最小二乘法計算b1值的具體計算過程和結果，經計算，b1的值為5.84。同時我們也獲得了自變量和因變量的均值。通過這三個值可以計算出b0的值。

以下是b0的計算公式，在已知b1和自變量與因變量均值的情況下，b0的值很容易計算。

將自變量和因變量的均值以及斜率b1代入到公式中，求出一元回歸方程截距b0的值為374。這里b1我們保留兩位小數，取值5.84。

在實際的工作中不需要進行如此繁瑣的計算，Excel可以幫我們自動完成并給出結果。在Excel中使用數據分析中的回歸功能，輸入自變量和因變量的范圍后可以自動獲得b0(Intercept)的值362.15和b1的值5.84。這里的b0和之前手動計算獲得的值有一些差異，因為前面用于計算的b1值只保留了兩位小數。

這里還要單獨說明下R Square的值0.87。這個值叫做判定系數，用來度量回歸方程的擬合優度。這個值越大，說明回歸方程越有意義，自變量對因變量的解釋度越高。

將截距b0和斜率b1代入到一元回歸方程中就獲得了自變量與因變量的關系。費用成本每增加1元，廣告曝光量會增加379.84次。通過這個關系我們可以根據成本預測廣告曝光量數據。也可以根據轉化所需的廣告曝光量來反推投入的費用成本。獲得這個方程還有一個更簡單的方法，就是在Excel中對自變量和因變量生成散點圖，然后選擇添加趨勢線，在添加趨勢線的菜單中選中顯示公式和顯示R平方值即可。

以上介紹的是兩個變量的一元回歸方法，如果有兩個以上的變量使用Excel中的回歸分析，選中相應的自變量和因變量范圍即可。下面是多元回歸方程。

5.信息熵及互信息

***一種相關分析方法是信息熵與互信息。前面我們一直在圍繞消費成本和廣告曝光量兩組數據展開分析。實際工作中影響最終效果的因素可能有很多，并且不一定都是數值形式。比如我們站在更高的維度來看之前的數據。廣告曝光量只是一個過程指標，最終要分析和關注的是用戶是否購買的狀態。而影響這個結果的因素也不僅僅是消費成本或其他數值化指標。可能是一些特征值。例如用戶所在的城市，用戶的性別，年齡區間分布，以及是否***次到訪網站等等。這些都不能通過數字進行度量。

度量這些文本特征值之間相關關系的方法就是互信息。通過這種方法我們可以發現哪一類特征與最終的結果關系密切。下面是我們模擬的一些用戶特征和數據。在這些數據中我們忽略之前的消費成本和廣告曝光量數據，只關注特征與狀態的關系。

對于信息熵和互信息具體的計算過程請參考我前面的文章《決策樹分類和預測算法的原理及實現》，這里直接給出每個特征的互信息值以及排名結果。經過計算城市與購買狀態的相關性***，所在城市為北京的用戶購買率較高。

到此為止5種相關分析方法都已介紹完，每種方法各有特點。其中圖表方法最為直觀，相關系數方法可以看到變量間兩兩的相關性，回歸方程可以對相關關系進行提煉，并生成模型用于預測，互信息可以對文本類特征間的相關關系進行度量。