第24期：聊一聊非等值分組
我們在上一期研究了分組運算的實質，即將一個集合按某種規則拆分成若干子集。不過，上期的關注重點在于還原分組運算的步驟，而沒有討論拆分規則，例子中都是用某些字段(或表達式)來定義拆分規則，也就是SQL中使用的方法。
我們把這種拆分方式稱為等值分組。
一、
等值分組在數學上的描述，相當于在一個集合上定義了一個等價關系：分組字段(表達式)相等的成員(記錄)就認為等價。
等價關系是指滿足如下條件的關系：
1)交換性，若a=b則b=a
2)傳遞性，若a=b,b=c則a=c
3)排他性，對任何a,b，a=b和a!=b有且只有一個成立
可以證明，任何等價關系一定能把原集合完全劃分成若干個子集，每個子集中的成員互相等價。
完全劃分具有這樣的性質：
1)沒有空子集
2)原集合的任何成員都屬于且只屬于某一個子集
考查等值分組，我們會發現它能夠精確地滿足等價關系的定義，因而等值分組的結果一定是完全劃分。
二、
有等值分組和完全劃分，那是不是還有非等值分組和不完全劃分?還有沒有別的方式產生完全劃分?這些是否有業務意義呢?
答案是肯定的。
三、
比如我們要統計男女員工數量。我們可以寫成這樣：
- SELECT gender,COUNT(*) FROM employee GROUP BY gender
但如果公司員工全是男性或女性，這個運算結果就只有一行了，那可能就不是我們想要的了。
為解決這個問題，我們可以設計這樣一種分組方案：先羅列出一個基準集合，然后將待分組集合成員的某個屬性(字段或表達式)與基準集合成員比較，相同者則分到一個子集中，***拆分出來的子集數量和基準集合成員數是相同的。這種分組我們稱為對位分組。
使用對位分組統計男女員工數量可以寫成這樣：
- a=[男,女] // 基準集合
- g=employee.align(a,gender) // 設計函數align實現對位分組，拆分集合
- g.new(a(#),~.len()) // 用分組子集計算匯總
可以想象，這種對位分組在日常統計中是很常見的，比如按地區、按部門統計，都可以事先把基準集合列出來，而且我們經常還要求結果集必須按基準集合的次序出現，而等值分組不能保證這個次序，還要再排序(排序時還是要提供這個基準集合，原集合成員屬性中沒有這個信息)。
對位分組可能出現空子集，它也不能保證任何原集合的成員都被拆到某個子集中(比如有些不重要的成員沒有被列入基準集合)，不過對位分組能保證每個成員最多只出現在一個子集中。
四、
我們還能把對位分組推廣成更一般的枚舉分組。
枚舉分組是指，事先指定一組條件，將待分組集合的成員作為參數計算這批條件，條件成立者都被劃分到與該條件對應的一個子集中，結果集的子集和事先指定的條件一一對應。
比如，將員工按年齡段分組統計人數：
- a=[?<=30,?<=40,?>40] // 用?表示要代入的參數
- g=employee.enum(a,age) // 設計函數enum實現枚舉分組，拆分集合
- ....
顯然，枚舉分組在日常業務中也是不少見的。
枚舉分組和對位分組很象，都需要先列出一個基準集合，事實上，對位分組就是一種特殊的枚舉分組。不過，不同的是，枚舉分組可能制造出有重復成員的子集，也就是可重分組。
- a=[?<=30,?>20 && ?<=40,?>50] // 條件有重疊
- g=employee.enum(a,age)
可重分組在實際業務中相對罕見一些，不過了解一下也有助于再次理解分組運算的實質。
五、
表面上看，對位分組和枚舉分組和SQL的GROUP BY差別很大，但理解了分組運算的本質后，就會明白它們其實是一回事：把某個集合拆分成若干子集。只是拆分的方法各有不同。
還有其它不完全依賴于成員屬性的分組方式，但仍然是一種“把集合拆成子集”的方法，我們在后續文章會再提及。
六、
還有一個問題，SQL只提供了等值分組，那會不會不夠用呢?用SQL又是如何解決對位分組和枚舉分組問題的?
其實SQL的運算能力是完備的，上述兩種非等值分組都可以轉換成等值分組，就是會麻煩一些。
對于對位分組，可以用基準集合和待分組集合做LEFT JOIN，對這個結果集再做GROUP BY就可以得到相同的效果。注意一定要用LEFT JOIN，用JOIN可能會失去空子集，用FULL JOIN又會多出基準集合之外的成員。枚舉分組也是類似，但語句會更復雜些，要根據枚舉條件去設計JOIN的條件，難以給出通用寫法。
