Java數據結構與算法解析(八)——伸展樹

作者：佚名 2017-10-10 16:59:28

開發后端大數據算法

伸展樹(Splay Tree)是特殊的二叉查找樹。它的特殊是指，它除了本身是棵二叉查找樹之外，它還具備一個特點: 當某個節點被訪問時，伸展樹會通過旋轉使該節點成為樹根。這樣做的好處是，下次要訪問該節點時，能夠迅速的訪問到該節點。

伸展樹簡介

伸展樹(Splay Tree)是特殊的二叉查找樹。

它的特殊是指，它除了本身是棵二叉查找樹之外，它還具備一個特點: 當某個節點被訪問時，伸展樹會通過旋轉使該節點成為樹根。這樣做的好處是，下次要訪問該節點時，能夠迅速的訪問到該節點。

特性

和普通的二叉查找樹相比，具有任何情況下、任何操作的平攤O(log2n)的復雜度，時間性能上更好
和一般的平衡二叉樹比如紅黑樹、AVL樹相比，維護更少的節點額外信息，空間性能更優，同時編程復雜度更低
在很多情況下，對于查找操作，后面的查詢和之前的查詢有很大的相關性。這樣每次查詢操作將被查到的節點旋轉到樹的根節點位置，這樣下次查詢操作可以很快的完成
可以完成對區間的查詢、修改、刪除等操作，可以實現線段樹和樹狀數組的所有功能

旋轉

伸展樹實現O(log2n)量級的平攤復雜度依靠每次對伸展樹進行查詢、修改、刪除操作之后，都進行旋轉操作 Splay(x, root)，該操作將節點x旋轉到樹的根部。

伸展樹的旋轉有六種類型，如果去掉鏡像的重復，則為三種：zig(zag)、zig-zig(zag-zag)、zig-zag(zag-zig)。

1 自底向上的方式進行旋轉

1.1 zig旋轉

如圖所示，x節點的父節點為y，x為y的左子節點，且y節點為根。則只需要對x節點進行一次右旋(zig操作)，使之成為y的父節點，就可以使x成為伸展樹的根節點。

1.2 zig-zig旋轉

如上圖所示，x節點的父節點y，y的父節點z，三者在一字型鏈上。此時，先對y節點和z節點進行zig旋轉，然后再對x節點和y節點進行zig旋轉，最后變為右圖所示，x成為y和z的祖先節點。

1.3 zig-zag旋轉

如上圖所示，x節點的父節點y，y的父節點z，三者在之字型鏈上。此時，先對x節點和y節點進行zig旋轉，然后再對x節點和y節點進行zag旋轉，最后變為右圖所示，x成為y和z的祖先節點。

2 自頂向下的方式進行旋轉

這種方式不需要節點存儲其父節點的引用。當我們沿著樹向下搜索某個節點x時，將搜索路徑上的節點及其子樹移走。構建兩棵臨時的樹——左樹和右樹。沒有被移走的節點構成的樹稱為中樹。

當前節點x是中樹的根
左樹L保存小于x的節點
右樹R保存大于x的節點

開始時候，x是樹T的根，左樹L和右樹R都為空。三種旋轉操作：

2.1 zig旋轉

如圖所示，x節點的子節點y就是我們要找的節點，則只需要對y節點進行一次右旋(zig操作)，使之成為x的父節點，就可以使y成為伸展樹的根節點。將y作為中樹的根，同時，x節點移動到右樹R中，顯然右樹上的節點都大于所要查找的節點。

2.2 zig-zig旋轉

如上圖所示，x節點的左子節點y，y的左子節點z，三者在一字型鏈上，且要查找的節點位于z節點為根的子樹中。此時，對x節點和y節點進行zig，然后對z和y進行zig，使z成為中樹的根，同時將y及其子樹掛載到右樹R上。

2.3 zig-zag旋轉

如上圖所示，x節點的左子節點y，y的右子節點z，三者在之字型鏈上，且需要查找的元素位于以z為根的子樹上。此時，先對x節點和y節點進行zig旋轉，將x及其右子樹掛載到右樹R上，此時y成為中樹的根節點;然后再對z節點和y節點進行zag旋轉，使得z成為中樹的根節點。

2.4 合并

最后，找到節點或者遇到空節點之后，需要對左、中、右樹進行合并。如圖所示，將左樹掛載到中樹的最左下方(滿足遍歷順序要求)，將右樹掛載到中樹的最右下方(滿足遍歷順序要求)。

伸展樹的實現

1.節點

public class SplayTree<T extends Comparable<T>> { 
    private SplayTreeNode<T> mRoot;    // 根結點 
 
    public class SplayTreeNode<T extends Comparable<T>> { 
        T key;                // 關鍵字(鍵值) 
        SplayTreeNode<T> left;    // 左孩子 
        SplayTreeNode<T> right;    // 右孩子 
 
        public SplayTreeNode() { 
            this.left = null; 
            this.right = null; 
        } 
 
        public SplayTreeNode(T key, SplayTreeNode<T> left, SplayTreeNode<T> right) { 
            this.key = key; 
            this.left = left; 
            this.right = right; 
        } 
    } 
}

SplayTree是伸展樹，而SplayTreeNode是伸展樹節點。在此，我將SplayTreeNode定義為SplayTree的內部類。在伸展樹SplayTree中包含了伸展樹的根節點mRoot。SplayTreeNode包括的幾個組成元素:

key – 是關鍵字，是用來對伸展樹的節點進行排序的。
left – 是左孩子。
right – 是右孩子。

2.旋轉

/* 
* 旋轉key對應的節點為根節點，并返回根節點。 
* 
* 注意： 
*   (a)：伸展樹中存在"鍵值為key的節點"。 
*          將"鍵值為key的節點"旋轉為根節點。 
*   (b)：伸展樹中不存在"鍵值為key的節點"，并且key < tree.key。 
*      b-1 "鍵值為key的節點"的前驅節點存在的話，將"鍵值為key的節點"的前驅節點旋轉為根節點。 
*      b-2 "鍵值為key的節點"的前驅節點存在的話，則意味著，key比樹中任何鍵值都小，那么此時，將最小節點旋轉為根節點。 
*   (c)：伸展樹中不存在"鍵值為key的節點"，并且key > tree.key。 
*      c-1 "鍵值為key的節點"的后繼節點存在的話，將"鍵值為key的節點"的后繼節點旋轉為根節點。 
*      c-2 "鍵值為key的節點"的后繼節點不存在的話，則意味著，key比樹中任何鍵值都大，那么此時，將最大節點旋轉為根節點。 
*/ 
   private SplayTreeNode<T> splay(SplayTreeNode<T> tree, T key) { 
       if (tree == null) 
           return tree; 
 
       SplayTreeNode<T> N = new SplayTreeNode<T>(); 
       SplayTreeNode<T> l = N; 
       SplayTreeNode<T> r = N; 
       SplayTreeNode<T> c; 
 
       for (; ; ) { 
           int cmp = key.compareTo(tree.key); 
           if (cmp < 0) { 
               if (key.compareTo(tree.left.key) < 0) { 
                   c = tree.left;                           /* rotate right */ 
                   tree.left = c.right; 
                   c.right = tree; 
                   tree = c; 
                   if (tree.left == null) 
                       break; 
               } 
               r.left = tree;                               /* link right */ 
               r = tree; 
               tree = tree.left; 
           } else if (cmp > 0) { 
 
               if (tree.right == null) 
                   break; 
 
               if (key.compareTo(tree.right.key) > 0) { 
                   c = tree.right;                          /* rotate left */ 
                   tree.right = c.left; 
                   c.left = tree; 
                   tree = c; 
                   if (tree.right == null) 
                       break; 
               } 
 
               l.right = tree;                              /* link left */ 
               l = tree; 
               tree = tree.right; 
           } else { 
               break; 
           } 
       } 
       l.right = tree.left;                                /* assemble */ 
       r.left = tree.right; 
       tree.left = N.right; 
       tree.right = N.left; 
 
       return tree; 
   } 
 
   public void splay(T key) { 
       mRoot = splay(mRoot, key); 
   }

上面的代碼的作用：將”鍵值為key的節點”旋轉為根節點，并返回根節點。它的處理情況共包括：

(a)：伸展樹中存在”鍵值為key的節點”。

將”鍵值為key的節點”旋轉為根節點。

(b)：伸展樹中不存在”鍵值為key的節點”，并且key < tree->key。

b-1) “鍵值為key的節點”的前驅節點存在的話，將”鍵值為key的節點”的前驅節點旋轉為根節點。

b-2) “鍵值為key的節點”的前驅節點存在的話，則意味著，key比樹中任何鍵值都小，那么此時，將最小節點旋轉為根節點。

(c)：伸展樹中不存在”鍵值為key的節點”，并且key > tree->key。

c-1) “鍵值為key的節點”的后繼節點存在的話，將”鍵值為key的節點”的后繼節點旋轉為根節點。

c-2) “鍵值為key的節點”的后繼節點不存在的話，則意味著，key比樹中任何鍵值都大，那么此時，將最大節點旋轉為根節點。

下面列舉個例子分別對a進行說明。

在下面的伸展樹中查找10，，共包括”右旋” –> “右鏈接” –> “組合”這3步。

01, 右旋

對應代碼中的”rotate right”部分

02, 右鏈接

對應代碼中的”link right”部分

03.組合

對應代碼中的”assemble”部分

提示：如果在上面的伸展樹中查找”70”，則正好與”示例1”對稱，而對應的操作則分別是”rotate left”, “link left”和”assemble”。

其它的情況，例如”查找15是b-1的情況，查找5是b-2的情況”等等，這些都比較簡單，大家可以自己分析。

3.插入

/** 
     * 將結點插入到伸展樹中，并返回根節點 
     * @param tree 伸展樹的根節點 
     * @param z 插入的結點 
     * @return 
     */ 
    private SplayTreeNode<T> insert(SplayTreeNode<T> tree, SplayTreeNode<T> z) { 
        int cmp; 
        SplayTreeNode<T> y = null; 
        SplayTreeNode<T> x = tree; 
 
        // 查找z的插入位置 
        while (x != null) { 
            y = x; 
            cmp = z.key.compareTo(x.key); 
            if (cmp < 0) 
                x = x.left; 
            else if (cmp > 0) 
                x = x.right; 
            else { 
                System.out.printf("不允許插入相同節點(%d)!\n", z.key); 
                z = null; 
                return tree; 
            } 
        } 
 
        if (y == null) 
            tree = z; 
        else { 
            cmp = z.key.compareTo(y.key); 
            if (cmp < 0) 
                y.left = z; 
            else 
                y.right = z; 
        } 
 
        return tree; 
    } 
 
    public void insert(T key) { 
        SplayTreeNode<T> z = new SplayTreeNode<T>(key, null, null); 
 
        // 如果新建結點失敗，則返回。 
        if ((z = new SplayTreeNode<T>(key, null, null)) == null) 
            return; 
 
        // 插入節點 
        mRoot = insert(mRoot, z); 
        // 將節點(key)旋轉為根節點 
        mRoot = splay(mRoot, key); 
    }

insert(key)是提供給外部的接口，它的作用是新建節點(節點的鍵值為key)，并將節點插入到伸展樹中;然后，將該節點旋轉為根節點。

insert(tree, z)是內部接口，它的作用是將節點z插入到tree中。insert(tree, z)在將z插入到tree中時，僅僅只將tree當作是一棵二叉查找樹，而且不允許插入相同節點。

4.刪除

/** 
     *  
     * @param tree 伸展樹 
     * @param key 刪除的結點 
     * @return 
     */ 
    private SplayTreeNode<T> remove(SplayTreeNode<T> tree, T key) { 
        SplayTreeNode<T> x; 
 
        if (tree == null) 
            return null; 
 
        // 查找鍵值為key的節點，找不到的話直接返回。 
        if (search(tree, key) == null) 
            return tree; 
 
        // 將key對應的節點旋轉為根節點。 
        tree = splay(tree, key); 
 
        if (tree.left != null) { 
            // 將"tree的前驅節點"旋轉為根節點 
            x = splay(tree.left, key); 
            // 移除tree節點 
            x.right = tree.right; 
        } 
        else 
            x = tree.right; 
 
        tree = null; 
 
        return x; 
    } 
 
    public void remove(T key) { 
        mRoot = remove(mRoot, key); 
    }

remove(key)是外部接口，remove(tree, key)是內部接口。

remove(tree, key)的作用是：刪除伸展樹中鍵值為key的節點。

它會先在伸展樹中查找鍵值為key的節點。若沒有找到的話，則直接返回。若找到的話，則將該節點旋轉為根節點，然后再刪除該節點。

伸展樹實現完整代碼

public class SplayTree<T extends Comparable<T>> {     
    private SplayTreeNode<T> mRoot;    // 根結點 
 
    public class SplayTreeNode<T extends Comparable<T>> { 
        T key;                // 關鍵字(鍵值) 
        SplayTreeNode<T> left;    // 左孩子 
        SplayTreeNode<T> right;    // 右孩子 
 
        public SplayTreeNode() { 
            this.left = null; 
            this.right = null; 
        } 
 
        public SplayTreeNode(T key, SplayTreeNode<T> left, SplayTreeNode<T> right) { 
            this.key = key; 
            this.left = left; 
            this.right = right; 
        } 
    } 
 
    /* 
 * 旋轉key對應的節點為根節點，并返回根節點。 
 * 
 * 注意： 
 *   (a)：伸展樹中存在"鍵值為key的節點"。 
 *          將"鍵值為key的節點"旋轉為根節點。 
 *   (b)：伸展樹中不存在"鍵值為key的節點"，并且key < tree.key。 
 *      b-1 "鍵值為key的節點"的前驅節點存在的話，將"鍵值為key的節點"的前驅節點旋轉為根節點。 
 *      b-2 "鍵值為key的節點"的前驅節點存在的話，則意味著，key比樹中任何鍵值都小，那么此時，將最小節點旋轉為根節點。 
 *   (c)：伸展樹中不存在"鍵值為key的節點"，并且key > tree.key。 
 *      c-1 "鍵值為key的節點"的后繼節點存在的話，將"鍵值為key的節點"的后繼節點旋轉為根節點。 
 *      c-2 "鍵值為key的節點"的后繼節點不存在的話，則意味著，key比樹中任何鍵值都大，那么此時，將最大節點旋轉為根節點。 
 */ 
    private SplayTreeNode<T> splay(SplayTreeNode<T> tree, T key) { 
        if (tree == null) 
            return tree; 
 
        SplayTreeNode<T> N = new SplayTreeNode<T>(); 
        SplayTreeNode<T> l = N; 
        SplayTreeNode<T> r = N; 
        SplayTreeNode<T> c; 
 
        for (; ; ) { 
            int cmp = key.compareTo(tree.key); 
            if (cmp < 0) { 
                if (key.compareTo(tree.left.key) < 0) { 
                    c = tree.left;                           /* rotate right */ 
                    tree.left = c.right; 
                    c.right = tree; 
                    tree = c; 
                    if (tree.left == null) 
                        break; 
                } 
                r.left = tree;                               /* link right */ 
                r = tree; 
                tree = tree.left; 
            } else if (cmp > 0) { 
 
                if (tree.right == null) 
                    break; 
 
                if (key.compareTo(tree.right.key) > 0) { 
                    c = tree.right;                          /* rotate left */ 
                    tree.right = c.left; 
                    c.left = tree; 
                    tree = c; 
                    if (tree.right == null) 
                        break; 
                } 
 
                l.right = tree;                              /* link left */ 
                l = tree; 
                tree = tree.right; 
            } else { 
                break; 
            } 
        } 
        l.right = tree.left;                                /* assemble */ 
        r.left = tree.right; 
        tree.left = N.right; 
        tree.right = N.left; 
 
        return tree; 
    } 
 
    public void splay(T key) { 
        mRoot = splay(mRoot, key); 
    } 
 
 
 
    /** 
     * 將結點插入到伸展樹中，并返回根節點 
     * @param tree 伸展樹的根節點 
     * @param z 插入的結點 
     * @return 
     */ 
    private SplayTreeNode<T> insert(SplayTreeNode<T> tree, SplayTreeNode<T> z) { 
        int cmp; 
        SplayTreeNode<T> y = null; 
        SplayTreeNode<T> x = tree; 
 
        // 查找z的插入位置 
        while (x != null) { 
            y = x; 
            cmp = z.key.compareTo(x.key); 
            if (cmp < 0) 
                x = x.left; 
            else if (cmp > 0) 
                x = x.right; 
            else { 
                System.out.printf("不允許插入相同節點(%d)!\n", z.key); 
                z = null; 
                return tree; 
            } 
        } 
 
        if (y == null) 
            tree = z; 
        else { 
            cmp = z.key.compareTo(y.key); 
            if (cmp < 0) 
                y.left = z; 
            else 
                y.right = z; 
        } 
 
        return tree; 
    } 
 
    public void insert(T key) { 
        SplayTreeNode<T> z = new SplayTreeNode<T>(key, null, null); 
 
        // 如果新建結點失敗，則返回。 
        if ((z = new SplayTreeNode<T>(key, null, null)) == null) 
            return; 
 
        // 插入節點 
        mRoot = insert(mRoot, z); 
        // 將節點(key)旋轉為根節點 
        mRoot = splay(mRoot, key); 
    } 
 
    /* 
 * 刪除結點(z)，并返回被刪除的結點 
 * 
 * 參數說明： 
 *     bst 伸展樹 
 *     z 刪除的結點 
 */ 
 
    /** 
     * 
     * @param tree 伸展樹 
     * @param key 刪除的結點 
     * @return 
     */ 
    private SplayTreeNode<T> remove(SplayTreeNode<T> tree, T key) { 
        SplayTreeNode<T> x; 
 
        if (tree == null) 
            return null; 
 
        // 查找鍵值為key的節點，找不到的話直接返回。 
        if (search(tree, key) == null) 
            return tree; 
 
        // 將key對應的節點旋轉為根節點。 
        tree = splay(tree, key); 
 
        if (tree.left != null) { 
            // 將"tree的前驅節點"旋轉為根節點 
            x = splay(tree.left, key); 
            // 移除tree節點 
            x.right = tree.right; 
        } 
        else 
            x = tree.right; 
 
        tree = null; 
 
        return x; 
    } 
 
    public void remove(T key) { 
        mRoot = remove(mRoot, key); 
    } 
 
    /* 
    * (遞歸實現)查找"伸展樹x"中鍵值為key的節點 
    */ 
    private SplayTreeNode<T> search(SplayTreeNode<T> x, T key) { 
        if (x==null) 
            return x; 
 
        int cmp = key.compareTo(x.key); 
        if (cmp < 0) 
            return search(x.left, key); 
        else if (cmp > 0) 
            return search(x.right, key); 
        else 
            return x; 
    } 
 
    public SplayTreeNode<T> search(T key) { 
        return search(mRoot, key); 
    } 
 
    /* 
   * 查找最小結點：返回tree為根結點的伸展樹的最小結點。 
   */ 
    private SplayTreeNode<T> minimum(SplayTreeNode<T> tree) { 
        if (tree == null) 
            return null; 
 
        while(tree.left != null) 
            tree = tree.left; 
        return tree; 
    } 
 
    public T minimum() { 
        SplayTreeNode<T> p = minimum(mRoot); 
        if (p != null) 
            return p.key; 
 
        return null; 
    } 
 
    /* 
     * 查找最大結點：返回tree為根結點的伸展樹的最大結點。 
     */ 
    private SplayTreeNode<T> maximum(SplayTreeNode<T> tree) { 
        if (tree == null) 
            return null; 
 
        while(tree.right != null) 
            tree = tree.right; 
        return tree; 
    } 
 
    public T maximum() { 
        SplayTreeNode<T> p = maximum(mRoot); 
        if (p != null) 
            return p.key; 
 
        return null; 
    }

責任編輯：龐桂玉來源： 36大數據

Java 數據結構算法解析