1.簡介

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在各種數(shù)據(jù)方面處理上已經(jīng)取得了很大的成功，包括圖像、文本、時間序列等。然而，學(xué)術(shù)界或工業(yè)界都面臨的一個問題是，不能以任何細節(jié)來理解其工作的過程，只能通過實驗來檢測其效果，而無法做出合理的解釋。相關(guān)問題是對特定數(shù)據(jù)集經(jīng)常存在某種過擬合現(xiàn)象，這會導(dǎo)致對抗行為的可能性。出于這些原因，開發(fā)用于發(fā)展對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)部狀態(tài)的一些理解的方法是非常值得嘗試的。由于網(wǎng)絡(luò)中神經(jīng)元的數(shù)量非常龐大，這成為使得對其進行數(shù)據(jù)分析顯得比較困難，尤其是對于無監(jiān)督數(shù)據(jù)分析。

在這篇文章中，將討論如何使用拓撲數(shù)據(jù)分析來深入了解卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(CNN)的工作過程。本文所舉示例完全來自對圖像數(shù)據(jù)集進行訓(xùn)練的網(wǎng)絡(luò)，但我們確信拓撲建模可以很容易地解釋許多其他領(lǐng)域卷積網(wǎng)絡(luò)的工作過程。

首先，對于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)而言，一般是由節(jié)點和有向邊組成。一些節(jié)點被指定為輸入節(jié)點，其他節(jié)點被指定為輸出節(jié)點，其余節(jié)點被指定為內(nèi)部節(jié)點。輸入節(jié)點是數(shù)據(jù)集的特征。例如，在處理圖像時，輸入節(jié)點將是特定圖像格式的像素。在文本分析時，它又可能是單詞。假設(shè)給定一個數(shù)據(jù)集和一個分類問題，比如手寫數(shù)字MNIST數(shù)據(jù)集，試圖將每個圖像分類為數(shù)字0到9中的某一個數(shù)字。網(wǎng)絡(luò)的每個節(jié)點對應(yīng)于一個變量值(激活值)。因此，每個數(shù)據(jù)點為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的每個內(nèi)部和輸出節(jié)點生成值。網(wǎng)絡(luò)每個節(jié)點的值由分配給每個邊的權(quán)重系統(tǒng)決定。節(jié)點節(jié)點Z上的值由與之連接的節(jié)點A，B，C，D節(jié)點的激活函數(shù)來確定。

圖1 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點示例

基于分配給四條邊的的權(quán)重值，計算最右邊節(jié)點Z的激活值。一種可能的函數(shù)形式就是

其中wA，wB，wC和wD是與邊緣AZ，BZ，CZ和DZ的權(quán)重值，xA，xB，xC和xD分別是節(jié)點A，B，C和D處的激活值，取值范圍通常在0和1之間，并且通常是單調(diào)的。權(quán)重的選擇是通過輸出函數(shù)來進行優(yōu)化的，給定輸入的特定輸出函數(shù)(代價函數(shù)或損失函數(shù))，然后使用優(yōu)化過程來選擇所有權(quán)重，以便***地適合給定的輸出函數(shù)，對這方面感興趣的讀者可以查閱梯度下降算法和反向傳播算法相關(guān)資料。

2.理解訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重

有一類神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在圖像處理領(lǐng)域取得了很好的成績，即卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。在這種情況下，輸入節(jié)點被布置在對應(yīng)于像素矩陣的方形網(wǎng)格中，用于構(gòu)成圖像的數(shù)據(jù)。網(wǎng)絡(luò)模型由一系列圖層組成，且每層之間都有連接，即第i層的節(jié)點與位于第(i + 1)層的節(jié)點之間有連接。不同于一般的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，典型的卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)由卷積層(convolutional layers )、采樣層(Pooling layer)以及全連接層(fully-connected)組成，其中卷積層主要是用于提取圖像特征，采樣層用于降低特征的維度，全連接層用于***的分類目的，隨著層與層之間的處理，特征圖會變得越來越小，從圖中也可以看見這種現(xiàn)象：

圖2 卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的典型結(jié)構(gòu)

為了理解卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的潛在行為，需要對權(quán)重矩陣進行了解。假設(shè)一個數(shù)據(jù)集，其中每個數(shù)據(jù)點是與隱藏層中的神經(jīng)元相關(guān)聯(lián)的權(quán)重矩陣。從固定層的所有網(wǎng)格中收集數(shù)據(jù)，并在同一網(wǎng)絡(luò)模型對同一數(shù)據(jù)集進行許多次的訓(xùn)練。***，對權(quán)重矩陣進行拓撲數(shù)據(jù)分析。

通過對權(quán)重矩陣執(zhí)行TDA，我們***了解了卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的行為，獨立證明卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)完全地表示自然圖像中發(fā)生的潛在分布，這是如何完成的呢?

首先，需要從拓撲角度找到有用的結(jié)構(gòu)。為了實現(xiàn)這個目標，只考慮密度足夠高的點。首先看一下兩層卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的***個卷積層，它產(chǎn)生圖3所示的拓撲模型。

圖3 根據(jù)過濾器的密度著色的TDA Mapper模型

從圖中可以看到，該模型是循環(huán)的。右側(cè)顯示的條形碼為持久性同源條形碼，它們是拓撲形狀的簽名，表明數(shù)據(jù)集實際具有這種形狀，并且它不是使用Mapper構(gòu)建模型的構(gòu)建。通過用相應(yīng)權(quán)重矩陣的平均值標記部分模型，圖像中也顯示了對形狀的解釋。此外，這個模型的有趣之處在于灰度自然圖像中統(tǒng)計3×3圖像塊的研究中發(fā)現(xiàn)的內(nèi)容與在所謂的初級視覺皮層中發(fā)現(xiàn)的內(nèi)容完全一致。

更簡單地說，拓撲模型以這樣一種方式描述CNN，即可以獨立地確認它與人類看待世界的方式相匹配，并與自然圖像的密度分析相匹配。

圖3中的分析是在MNIST數(shù)據(jù)集上進行的，對CIFAR 10數(shù)據(jù)集上執(zhí)行的相關(guān)分析獲得下圖：

圖4 CIFAR 10數(shù)據(jù)集的額外復(fù)雜性顯示在水平線和垂直線上

上圖是對***個卷積層進行分析，該模型在區(qū)域中間以及邊緣包含線條。觀察到這些線條塊的神經(jīng)元也存在于哺乳動物的初級視覺皮層中，這為我們提供了與視覺相關(guān)的質(zhì)量方面的量化視角。

3.理解權(quán)重在訓(xùn)練過程中的變化

從上面的發(fā)現(xiàn)可以看到，使用TDA，卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以模擬自然圖像中數(shù)據(jù)集的分布，因此可以將注意力轉(zhuǎn)向研究學(xué)習(xí)過程中發(fā)生的事情。圖5是通過在CIFAR10數(shù)據(jù)集上計算卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的***層和第二層中的拓撲模型，然后在不同次數(shù)的學(xué)習(xí)迭代中顯示模型的***層和第二層而獲得。

圖5 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型各個階段的拓撲模型

對模型進行著色來獲取模型進行處理的信息，顏色反映了節(jié)點中數(shù)據(jù)點的數(shù)量，因此可以將紅色部分視為實際模型，其余部分包含不常出現(xiàn)的權(quán)重矩陣。

圖像中的***行反映***層的信息，并且觀察到，優(yōu)化算法進行400和500次迭代后快速發(fā)現(xiàn)上述圓形模型。然而，隨著迭代的過程，圓形變?yōu)楦鼜?fù)雜，其中包括與水平和垂直補丁相對應(yīng)的補丁，1000次迭代后，模型中心變得更復(fù)雜。另一方面，對于第二層，在迭代的***輪中可以看到，只有一個弱模式，但是在2000次迭代之后，似乎具有一個明確定義的圓形模型。我們對其進行假設(shè)——第二層已經(jīng)“接管”了***層，而***層已經(jīng)轉(zhuǎn)移到捕獲更復(fù)雜的補丁，這是未來潛在研究的一個領(lǐng)域。這也證明了使用拓撲數(shù)據(jù)分析來監(jiān)控和提供對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)過程的洞察力的能力。

4.更高層的權(quán)重矩陣

這種方法也適用于更深的網(wǎng)絡(luò)，更深的網(wǎng)絡(luò)的組織方式類似于人類或靈長類動物視覺通路的組織。應(yīng)理解，該通路具有許多組分，包括視網(wǎng)膜，以及各種較高組分。初級視覺皮層充當邊緣和線檢測器，并且更高的組件用來檢測更為復(fù)雜的形狀，更為抽象。下圖是對已經(jīng)訓(xùn)練好VGG 16網(wǎng)絡(luò)中各層的研究結(jié)果。這里顯示第2到第13卷積層的拓撲數(shù)據(jù)分析，給出對應(yīng)的拓撲模型。

圖6 以拓撲數(shù)據(jù)分析為代表的13層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

注意到，第二層和第三層顯然非常類似于在MNIST數(shù)據(jù)集上訓(xùn)練的模型中獲得的圓形模型。第四層有一個圓形模型，但也包含一些背景中的一些線條。然而，在更高層次上，開發(fā)出了非常有趣的模式，包括線條交叉和“牛眼”。

從這些拓撲模型可以發(fā)現(xiàn)，卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)不僅模仿真實世界數(shù)據(jù)集的分布，而且還能夠模擬哺乳動物視覺皮層的發(fā)展。

雖然卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)像一個黑匣子一樣讓人難以理解，但拓撲數(shù)據(jù)分析提供了一種在宏觀尺度上理解神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中計算是如何被執(zhí)行的方法。雖然這項工作適用于圖像數(shù)據(jù)集，但使用拓撲數(shù)據(jù)分析來解釋其他領(lǐng)域神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的計算同樣也適用。

通過將大量狀態(tài)壓縮成更小更易理解的模型，拓撲數(shù)據(jù)分析可用于理解寬范圍神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的行為和功能。

作者：Gunnar Carlsson，機器學(xué)習(xí)研究者