無(wú)限寬度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是近來(lái)一個(gè)重要的研究課題，但要通過(guò)實(shí)證實(shí)驗(yàn)來(lái)探索它們的性質(zhì)，必需大規(guī)模的計(jì)算能力才行。近日，谷歌大腦公布的一篇論文介紹了他們?cè)谟邢藓蜔o(wú)限神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方面的系統(tǒng)性探索成果。該研究通過(guò)大規(guī)模對(duì)比實(shí)驗(yàn)得到了 12 條重要的實(shí)驗(yàn)結(jié)論并在此過(guò)程中找到了一些新的改進(jìn)方法。該文作者之一 Jascha Sohl-Dickstein 表示：「這篇論文包含你想知道的但沒(méi)有足夠的計(jì)算能力探求的有關(guān)無(wú)限寬度網(wǎng)絡(luò)的一切！」

近日，谷歌大腦的研究者通過(guò)大規(guī)模實(shí)證研究探討了寬神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與核（kernel）方法之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。在此過(guò)程中，研究者解決了一系列與無(wú)限寬度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)研究相關(guān)的問(wèn)題，并總結(jié)得到了 12 項(xiàng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

此外，實(shí)驗(yàn)還額外為權(quán)重衰減找到了一種改進(jìn)版逐層擴(kuò)展方法，可以提升有限寬度網(wǎng)絡(luò)的泛化能力。

最后，他們還為使用 NNGP（神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)高斯過(guò)程）和 NT（神經(jīng)正切）核的預(yù)測(cè)任務(wù)找到了一種改進(jìn)版的最佳實(shí)踐，其中包括一種全新的集成（ensembling）技術(shù)。這些最佳實(shí)踐技術(shù)讓實(shí)驗(yàn)中每種架構(gòu)對(duì)應(yīng)的核在 CIFAR-10 分類(lèi)任務(wù)上均取得了當(dāng)前最佳的成績(jī)。

論文鏈接：https://arxiv.org/pdf/2007.15801v1.pdf

當(dāng)使用貝葉斯方法和梯度下降方法訓(xùn)練的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的中間層是無(wú)限寬時(shí)，這些網(wǎng)絡(luò)可以收斂至高斯過(guò)程或緊密相關(guān)的核方法。這些無(wú)限寬度網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)過(guò)程可通過(guò)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)高斯過(guò)程（NNGP）核函數(shù)來(lái)描述，也可通過(guò)梯度下降方法所訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)的神經(jīng)正切核（NTK）和權(quán)重空間線(xiàn)性化來(lái)描述。

這種對(duì)應(yīng)關(guān)系是近來(lái)在理解神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方面獲得突破的關(guān)鍵，同時(shí)還使核方法、貝葉斯深度學(xué)習(xí)、主動(dòng)學(xué)習(xí)和半監(jiān)督學(xué)習(xí)取得了切實(shí)的進(jìn)步。在為大規(guī)模神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)提供確切理論描述時(shí)，NNGP、NTK 和相關(guān)的寬度限制都是獨(dú)特的。因此可以相信它們?nèi)詫⒗^續(xù)為深度學(xué)習(xí)理論帶來(lái)變革。

無(wú)限網(wǎng)絡(luò)是近來(lái)一個(gè)活躍的研究領(lǐng)域，但其基礎(chǔ)性的實(shí)證問(wèn)題仍待解答。谷歌大腦的這項(xiàng)研究對(duì)有限和無(wú)限寬度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了廣泛深入的實(shí)證研究。在此過(guò)程中，研究者通過(guò)實(shí)證數(shù)據(jù)定量地解答了影響有限網(wǎng)絡(luò)和核方法性能的變化因素，揭示了出人意料的新行為，并開(kāi)發(fā)了可提升有限與無(wú)限寬度網(wǎng)絡(luò)性能的最佳實(shí)踐。

實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

為了系統(tǒng)性地對(duì)無(wú)限和有限神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行實(shí)證研究，研究者首先確立了每種架構(gòu)的 base，方便直接對(duì)比無(wú)限寬度核方法、線(xiàn)性化權(quán)重空間網(wǎng)絡(luò)和基于非線(xiàn)性梯度下降的訓(xùn)練方法。對(duì)于有限寬度的情況，base 架構(gòu)使用了恒定小學(xué)習(xí)率且損失為 MSE（均方誤差）的 mini-batch 梯度下降。在核學(xué)習(xí)設(shè)置中，研究者為整個(gè)數(shù)據(jù)集計(jì)算了 NNGP 和 NTK。

完成這種一對(duì)一的比較之后，研究者在 base 模型之上進(jìn)行了大量不同種類(lèi)的修改。某些修改會(huì)大致保留其對(duì)應(yīng)關(guān)系（比如數(shù)據(jù)增強(qiáng)），而另一些則會(huì)打破這種對(duì)應(yīng)關(guān)系，并且假設(shè)對(duì)應(yīng)關(guān)系的打破會(huì)影響到性能結(jié)果（比如使用較大的學(xué)習(xí)率）。

此外，研究者還圍繞 base 模型的初始化對(duì)其進(jìn)行線(xiàn)性化嘗試，在這種情況下，其訓(xùn)練動(dòng)態(tài)可使用常量核來(lái)精準(zhǔn)地描述。由于有限寬度效應(yīng)，這不同于前文描述的核設(shè)置。

該研究使用 MSE 損失的原因是能更容易地與核方法進(jìn)行比較，交叉熵?fù)p失在性能方面比 MSE 損失略好，但這還留待未來(lái)研究。

該研究涉及的架構(gòu)要么是基于全連接層（FCN）構(gòu)建的，要么就是用卷積層（CNN）構(gòu)建的。所有案例都使用了 ReLU 非線(xiàn)性函數(shù)。除非另有說(shuō)明，該研究使用的模型都是 3 層的 FCN 和 8 層的 CNN。對(duì)于卷積網(wǎng)絡(luò)，在最后的讀出層（readout layer）之前必須壓縮圖像形狀數(shù)據(jù)的空間維度。為此，要么是將圖像展平為一維向量（VEC），要么是對(duì)空間維度應(yīng)用全局平均池化（GAP）。

最后，研究者比較了兩種參數(shù)化網(wǎng)絡(luò)權(quán)重和偏置的方法：標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)化（STD）和 NTK 參數(shù)化（NTK）。其中 STD 用于有限寬度網(wǎng)絡(luò)的研究，NTK 則在目前大多數(shù)無(wú)限寬度網(wǎng)絡(luò)研究中得到應(yīng)用。

除非另有說(shuō)明，該研究中所有核方法的實(shí)驗(yàn)都是基于對(duì)角核正則化（diagonal kernel regularization）獨(dú)立優(yōu)化完成的。有限寬度網(wǎng)絡(luò)則全都使用了與 base 模型相對(duì)應(yīng)的小學(xué)習(xí)率。

這篇論文中的實(shí)驗(yàn)基本都是計(jì)算密集型的。舉個(gè)例子，要為 CNN-GAP 架構(gòu)在 CIFAR-10 上計(jì)算 NTK 或 NNGP，就必須用 6×10^7 乘 6×10^7 的核矩陣對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行評(píng)估。通常來(lái)說(shuō)，這需要雙精度 GPU 時(shí)間約 1200 小時(shí)，因此研究者使用了基于 beam 的大規(guī)模分布式計(jì)算基礎(chǔ)設(shè)施。

所有實(shí)驗(yàn)都使用了基于 JAX 的 Neural Tangents 庫(kù)：https://github.com/google/neural-tangents。

為了盡可能地做到系統(tǒng)性，同時(shí)又考慮到如此巨大的計(jì)算需求，于是研究者僅使用了一個(gè)數(shù)據(jù)集 CIFAR-10，即在該數(shù)據(jù)集上評(píng)估對(duì)每種架構(gòu)的每種修改措施。同時(shí)，為了保證結(jié)果也適用于不同的數(shù)據(jù)集，研究者還在 CIFAR-100 和 Fashion-MNIST 上評(píng)估了部分關(guān)鍵結(jié)果。

從實(shí)驗(yàn)中得到的 12 條結(jié)論

以下為基于實(shí)驗(yàn)結(jié)果總結(jié)的 12 個(gè)結(jié)論（詳細(xì)分析請(qǐng)參閱原論文）：

1. NNGP/NTK 的表現(xiàn)可勝過(guò)有限網(wǎng)絡(luò)

在無(wú)限網(wǎng)絡(luò)研究中，一個(gè)常見(jiàn)假設(shè)是它們?cè)诖髷?shù)據(jù)環(huán)境中的表現(xiàn)趕不上對(duì)應(yīng)的有限網(wǎng)絡(luò)。通過(guò)比較核方法與有限寬度架構(gòu)（使用小學(xué)習(xí)率，無(wú)正則化）的 base 模型，并逐一驗(yàn)證可打破（大學(xué)習(xí)率、L2 正則化）或改進(jìn)（集成）無(wú)限寬度與核方法對(duì)應(yīng)性的訓(xùn)練實(shí)踐的效果，研究者驗(yàn)證了這一假設(shè)。結(jié)果見(jiàn)下圖 1：

圖 1：有限和無(wú)限網(wǎng)絡(luò)及其變體在 CIFAR-10 上的測(cè)試準(zhǔn)確率。從給定架構(gòu)類(lèi)別的有限寬度 base 網(wǎng)絡(luò)開(kāi)始，標(biāo)準(zhǔn)和 NTK 參數(shù)化的模型表現(xiàn)隨著修改而發(fā)生變化：+C 指居中（Centering）、+LR 指大學(xué)習(xí)率、+U 指通過(guò)早停實(shí)現(xiàn)欠擬合、+ZCA 指使用 ZCA 正則化進(jìn)行輸入預(yù)處理、+Ens 指多個(gè)初始化集成，另外還有一些組合方案。Lin 指線(xiàn)性化 base 網(wǎng)絡(luò)的性能。

從中可以觀察到，對(duì)于 base 有限網(wǎng)絡(luò)，無(wú)限 FCN 和 CNN-VEC 的表現(xiàn)要優(yōu)于它們各自對(duì)應(yīng)的有限網(wǎng)絡(luò)。另一方面，無(wú)限 CNN-GAP 網(wǎng)絡(luò)的表現(xiàn)又比其對(duì)應(yīng)的有限版本差。研究者指出這其實(shí)與架構(gòu)有關(guān)。舉例來(lái)說(shuō)，即使有限寬度 FCN 網(wǎng)絡(luò)組合了高學(xué)習(xí)率、L2 和欠擬合等多種不同技巧，無(wú)限 FCN 網(wǎng)絡(luò)的性能還是更優(yōu)。只有再加上集成之后，有限網(wǎng)絡(luò)的性能才能達(dá)到相近程度。

另一個(gè)有趣的觀察是，ZCA 正則化預(yù)處理能顯著提升 CNN-GAP 核的表現(xiàn)。

2. NNGP 通常優(yōu)于 NTK

從下圖 2 中可以看出，在 CIFAR-10、CIFAR-100 和 Fashion-MNIST 數(shù)據(jù)集上 NNGP 的性能持續(xù)優(yōu)于 NTK。NNGP 核不僅能得到更強(qiáng)的模型，而且所需的內(nèi)存和計(jì)算量也僅有對(duì)應(yīng)的 NTK 的一半左右，而且某些性能最高的核根本就沒(méi)有對(duì)應(yīng)的 NTK 版本。

圖 2：當(dāng)對(duì)角正則化經(jīng)過(guò)精心調(diào)整時(shí)，NNGP 在圖像分類(lèi)任務(wù)上通常優(yōu)于 NTK。

3. 居中和集成有限網(wǎng)絡(luò)都會(huì)得到類(lèi) kernel 的表現(xiàn)

圖 3：居中可以加速訓(xùn)練和提升性能。

圖 4：集成 base 網(wǎng)絡(luò)可讓它們達(dá)到與核方法相媲美的表現(xiàn)，并且在非線(xiàn)性 CNN 上還優(yōu)于核方法。

4. 大學(xué)習(xí)率和 L2 正則化會(huì)讓有限網(wǎng)絡(luò)和核之間出現(xiàn)差異

從上圖 1 中可以觀察到，大學(xué)習(xí)率（LR）的效果容易受到架構(gòu)和參數(shù)化的影響。

L2 正則化則能穩(wěn)定地提升所有架構(gòu)和參數(shù)化的性能（+1-2%）。即使使用經(jīng)過(guò)精心調(diào)節(jié)的 L2 正則化，有限寬度 CNN-VEC 和 FCN 依然比不上 NNGP/NTK。L2 結(jié)合早停能為有限寬度 CNN-VEC 帶來(lái) 10-15% 的顯著性能提升，使其超過(guò) NNGP/NTK。

5. 使用標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)化能為網(wǎng)絡(luò)提升 L2 正則化

圖 5：受 NTK 啟發(fā)的逐層擴(kuò)展能讓 L2 正則化在標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)化網(wǎng)絡(luò)中更有幫助。

研究者發(fā)現(xiàn)，相比于使用標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)化，使用 NTK 參數(shù)化時(shí) L2 正則化能為有限寬度網(wǎng)絡(luò)帶來(lái)顯著的性能提升。使用兩種參數(shù)化的網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重之間存在雙射映射。受 NTK 參數(shù)化中 L2 正則化項(xiàng)性能提升的啟發(fā)，研究者使用這一映射構(gòu)建了一個(gè)可用于標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)化網(wǎng)絡(luò)的正則化項(xiàng)，其得到的懲罰項(xiàng)與原版 L2 正則化在對(duì)應(yīng)的 NTK 參數(shù)化網(wǎng)絡(luò)上得到的一樣。

6. 在超過(guò)兩次下降的寬度中，性能表現(xiàn)可能是非單調(diào)的

圖 6：有限寬度網(wǎng)絡(luò)在寬度增大時(shí)通常會(huì)有更好的表現(xiàn)，但 CNN-VEC 表現(xiàn)出了出人意料的非單調(diào)行為。L2：在訓(xùn)練階段允許非零權(quán)重衰減，LR：允許大學(xué)習(xí)率，虛線(xiàn)表示允許欠擬合（U）。

7. 核對(duì)角正則化的行為類(lèi)似于早停

圖 7：對(duì)角核正則化的行為類(lèi)似于早停。實(shí)線(xiàn)對(duì)應(yīng)具備不同對(duì)角正則化 ε 的 NTK 推斷；虛線(xiàn)對(duì)應(yīng)梯度下降到時(shí)間 τ = ηt 后的預(yù)測(cè)結(jié)果，線(xiàn)條顏色表示不同的訓(xùn)練集大小 m。在時(shí)間 t 執(zhí)行早停緊密對(duì)應(yīng)于使用系數(shù) ε = Km/ηt 的正則化，其中 K=10 表示輸出類(lèi)別的數(shù)量。

8. 浮點(diǎn)數(shù)精度決定了核方法失敗的關(guān)鍵數(shù)據(jù)集大小

圖 8：無(wú)限網(wǎng)絡(luò)核的尾部特征值表現(xiàn)出了冪律衰減趨勢(shì)。

9. 由于條件不好，線(xiàn)性化 CNN-GAP 模型表現(xiàn)很差

研究者觀察到線(xiàn)性化 CNN-GAP 在訓(xùn)練集上的收斂速度非常慢，導(dǎo)致其驗(yàn)證表現(xiàn)也很差（見(jiàn)上圖 3）。

這一結(jié)果的原因是池化網(wǎng)絡(luò)的條件很差。Xiao 等人的研究 [33] 表明 CNN-GAP 網(wǎng)絡(luò)初始化的條件比 FCN 或 CNN-VEC 網(wǎng)絡(luò)差了像素?cái)?shù)倍（對(duì) CIFAR-10 來(lái)說(shuō)是 1024）。

表 1：對(duì)應(yīng)架構(gòu)類(lèi)型的核的 CIFAR-10 測(cè)試準(zhǔn)確率。

10. 正則化 ZCA 白化（whitening）可提升準(zhǔn)確率

圖 9：正則化 ZCA 白化可提升有限和無(wú)限寬度網(wǎng)絡(luò)的圖像分類(lèi)性能。所有的圖都將性能表現(xiàn)為 ZCA 正則化強(qiáng)度的函數(shù)。a）在 CIFAR-10、Fashion-MNIST、CIFAR-100 上核方法輸入的 ZCA 白化；b）有限寬度網(wǎng)絡(luò)輸入的 ZCA 白化。

11. 同變性（equivariance）僅對(duì)遠(yuǎn)離核區(qū)域的窄網(wǎng)絡(luò)有益

圖 10：同變性?xún)H在核區(qū)域之外的 CNN 模型中得到利用。

如果 CNN 模型能有效地利用同變性，則預(yù)計(jì)它能比 FCN 更穩(wěn)健地處理裁剪和平移。出人意料的是，寬 CNN-VEC 的性能會(huì)隨輸入擾動(dòng)的幅度而下降，而且下降速度與 FCN 一樣快，這說(shuō)明同變性并未得到利用。相反，使用權(quán)重衰減的窄模型（CNN-VEC+L2+narrow）的性能下降速度要慢得多。正如預(yù)期，平移不變型 CNN-GAP 依然是最穩(wěn)健的。

12. 集成核預(yù)測(cè)器可使用 NNGP/NTK 進(jìn)行實(shí)用的數(shù)據(jù)增強(qiáng)

圖 11：集成核預(yù)測(cè)器（ensembling kernel predictors）可使基于大規(guī)模增強(qiáng)數(shù)據(jù)集的預(yù)測(cè)在計(jì)算上可行。

可以觀察到，DA 集成可提升準(zhǔn)確率，且相比于 NTK，它對(duì) NNGP 的效果要好得多。

這里研究者提出了一種直接讓集成核預(yù)測(cè)器實(shí)現(xiàn)更廣泛的數(shù)據(jù)增強(qiáng)的方法。該策略涉及到構(gòu)建一組經(jīng)過(guò)增強(qiáng)的數(shù)據(jù)批，為其中每一批執(zhí)行核推斷，然后執(zhí)行所得結(jié)果的集成。這相當(dāng)于用模塊對(duì)角近似替代核，其中每個(gè)模塊都對(duì)應(yīng)一個(gè)數(shù)據(jù)批，所有增強(qiáng)的數(shù)據(jù)批的并集即為完整的增強(qiáng)數(shù)據(jù)集。該方法在該研究所有無(wú)線(xiàn)寬度架構(gòu)的對(duì)應(yīng)核方法上都取得了當(dāng)前最佳結(jié)果。