作為量子力學的基礎方程之一，薛定諤方程一直廣受關注。去年，DeepMind 科學家開發一種新的神經網絡來近似計算薛定諤方程，為深度學習在量子化學領域的發展奠定了基礎。今年九月份，柏林自由大學的幾位科學家提出了一種新的深度學習波函數擬設方法，它可以獲得電子薛定諤方程的近乎精確解。相關研究發表在 Nature Chemistry 上。

即使并非物理學界人士，我們也對薛定諤這個名字并不陌生，比如「薛定諤的貓」。著名物理學家埃爾溫 · 薛定諤是量子力學奠基人之一，他在 1926 年提出的薛定諤方程（Schrödinger equation）為量子力學奠定了堅實的基礎。薛定諤方程是描述物理系統的量子態怎樣隨時間演化的偏微分方程，是量子力學的基礎方程之一。

在經典力學里，人們使用牛頓第二定律描述物體運動。而在量子力學里，類似的運動方程為薛定諤方程。薛定諤方程的解完備地描述物理系統里微觀尺寸粒子的量子行為，包括分子系統、原子系統、亞原子系統。微觀系統的狀態由波函數來描寫，薛定諤方程即是波函數的微分方程。若給定了初始條件和邊界的條件，就可由此方程解出波函數。另外，薛定諤方程的解還可完備地描述宏觀系統，可能乃至整個宇宙。

求解薛定諤方程可以為化學反應提供線索。化學反應的結果基本上與電子以及它們環繞原子和分子的方式有關。而控制事物反應的能量以及電子在分子中的軌道的差異決定了化學物質的形狀，也由此決定了其性質。計算這一能量的方式就是求解薛定諤方程。換句話說，求解出薛定諤方程，就可以知道化學反應的結果。

然而，這并非易事。此前，我們可以精確求解的原子只有氫原子——僅具備一個質子和一個電子。

最近，來自柏林自由大學的科學家提出利用人工智能計算薛定諤方程的基態解，相關研究發表在 Nature Chemistry 上。

用 AI 求解薛定諤方程

量子化學旨在預測分子的化學和物理性質，它僅利用分子在三維空間中的原子排列來完成。這可以減少對資源的需求，并加快實驗速度。理論上，這可以通過求解薛定諤方程來完成，但在實踐中這往往非常困難。目前，人們仍無法高效求得任意分子的精確解。

最近，來自柏林自由大學的科學家提出一種深度學習方法，達到了前所未有的計算效率和準確度權衡。

該研究作者之一 Frank Noé 教授表示：「我們認為這一方法或將極大地影響量子化學的未來。」

無需在準確度和計算成本之間做出取舍

波函數是量子化學和薛定諤方程的關鍵所在，是一種描述分子內電子行為的函數。它是一種高維實體，這使得捕獲編碼特定電子之間相互影響方式的頻譜變得極度困難。

量子化學領域中的許多方法不再只是嘗試以數學方式獲得特定分子的能量，但這需要近似值，限制了預測的質量。還有一些利用大量簡單數學構造塊表示波函數的方法，但這些方法過于復雜，難以針對較多原子計算波函數。

該研究一作 Jan Hermann 設計了新方法的關鍵特征，他表示：「避免在準確度和計算成本之間進行權衡是量子化學的最高成就。」

將物理屬性引入 AI 神經網絡

Hermann 表示：「到目前為止，最流行的方法是極具成本效益的密度泛函理論。我們認為我們提出的深度『Quantum Monte Carlo』方法至少可以達到同樣好的效果。該方法以可接受的計算成本提供了前所未有的準確度。」

該研究設計了一個深度神經網絡來表示電子的波函數，這是一種全新的方法。Noé 解釋說：「我們沒有使用用相對簡單的數學成分組成波函數的標準方法，而是設計了一種人工神經網絡，它能夠學習電子圍繞原子核運動的復雜模式。」

Hermann 表示：「電子波函數的獨特性在于反對稱性。在交換兩個電子時，波函數需要改變符號，我們必須將這種特性引入到神經網絡架構中才能使之奏效。」

受泡利不相容原理啟發，PauliNet 方法誕生

受到「泡利不相容原理」（Pauli exclusion principle）的啟發，研究者將他們的方法命名為「PauliNet」。它是一種深度學習波函數擬設，可以獲得電子薛定諤方程的近乎精確解。PauliNet 具有一個作為基線的內置多參考哈特里－福克（Hartree–Fock）解，集成有效波函數的物理特性，并使用變分量子蒙特卡羅方法（variational quantum Monte Carlo, VMC）進行訓練。

PauliNet 擬設架構的信息流如下圖所示：

在實驗部分，研究者采用了用于 DeepWF（Han et al., 2019）的相同系統，具體為氫分子（H_2）、氫化鋰（LiH）、鈹（Be）以及硼（B）和線性氫鏈 H_10。研究者將 PauliNet 與 SD-VMC（singledeterminant variational, 標準單行列式變分蒙特卡羅）、SD-DMC（singledeterminant diffusion, 標準單行列式擴散蒙特卡羅）和 DeepWF 進行了比較。

結果表明，PauliNet 的性能優于這三種用于原子、雙原子分子和強相關氫鏈的 SOTA VMC 擬設方法，并且具有較高的計算效率。下表 1 為使用這四種不同方法時，H_2、LiH、Be、B 和 H_10 五種系統的基態能量對比：

求解薛定諤方程的潛在應用

研究者預計，由于系統大小對實驗效果具有正面影響，該方法可能成為中型分子系統上高準確度電子結構計算的新主導方法。

當然，在本研究提出的新方法能夠處理工業應用之前，研究者還有很多需要克服的難題。研究者表示：「這是一項基礎性研究，但對于分子和材料科學中的古老問題而言卻是一種最新方法。我們很高興該方法創造了無限的可能性。」

求解薛定諤方程在量子化學領域具有廣泛的應用。從計算機視覺到材料科學，求解薛定諤方程將會促成人類想象不到的商品發展。雖然這一革命性創新離落地應用還有很長的一段路要走，但這一研究活躍在科學世界依然令人興奮。