從前序及中序與后序遍歷序列構造二叉樹登場！

作者：程序員Carl 2021-08-17 11:32:33

開發前端

首先回憶一下如何根據兩個順序構造一個唯一的二叉樹，相信理論知識大家應該都清楚，就是以后序數組的最后一個元素為切割點，先切中序數組，根據中序數組，反過來在切后序數組。

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看完本文，可以一起解決如下兩道題目

從中序與后序遍歷序列構造二叉樹
從前序與中序遍歷序列構造二叉樹

從中序與后序遍歷序列構造二叉樹題

目地址：https://leetcode-cn.com/problems/construct-binary-tree-from-inorder-and-postorder-traversal/

根據一棵樹的中序遍歷與后序遍歷構造二叉樹。

注意: 你可以假設樹中沒有重復的元素。

例如，給出

中序遍歷 inorder = [9,3,15,20,7] 后序遍歷 postorder = [9,15,7,20,3] 返回如下的二叉樹：

思路

首先回憶一下如何根據兩個順序構造一個唯一的二叉樹，相信理論知識大家應該都清楚，就是以后序數組的最后一個元素為切割點，先切中序數組，根據中序數組，反過來在切后序數組。一層一層切下去，每次后序數組最后一個元素就是節點元素。

如果讓我們肉眼看兩個序列，畫一顆二叉樹的話，應該分分鐘都可以畫出來。

流程如圖：

從中序與后序遍歷序列構造二叉樹

那么代碼應該怎么寫呢?

說到一層一層切割，就應該想到了遞歸。

來看一下一共分幾步：

第一步：如果數組大小為零的話，說明是空節點了。
第二步：如果不為空，那么取后序數組最后一個元素作為節點元素。
第三步：找到后序數組最后一個元素在中序數組的位置，作為切割點
第四步：切割中序數組，切成中序左數組和中序右數組 (順序別搞反了，一定是先切中序數組)
第五步：切割后序數組，切成后序左數組和后序右數組
第六步：遞歸處理左區間和右區間

不難寫出如下代碼：(先把框架寫出來)

TreeNode* traversal (vector<int>& inorder, vector<int>& postorder) { 
 
    // 第一步 
    if (postorder.size() == 0) return NULL; 
 
    // 第二步：后序遍歷數組最后一個元素，就是當前的中間節點 
    int rootValue = postorder[postorder.size() - 1]; 
    TreeNode* root = new TreeNode(rootValue); 
 
    // 葉子節點 
    if (postorder.size() == 1) return root; 
 
    // 第三步：找切割點 
    int delimiterIndex; 
    for (delimiterIndex = 0; delimiterIndex < inorder.size(); delimiterIndex++) { 
        if (inorder[delimiterIndex] == rootValue) break; 
    } 
 
    // 第四步：切割中序數組，得到 中序左數組和中序右數組 
    // 第五步：切割后序數組，得到 后序左數組和后序右數組 
 
    // 第六步 
    root->left = traversal(中序左數組, 后序左數組); 
    root->right = traversal(中序右數組, 后序右數組); 
 
    return root; 
}

難點大家應該發現了，就是如何切割，以及邊界值找不好很容易亂套。

此時應該注意確定切割的標準，是左閉右開，還有左開又閉，還是左閉又閉，這個就是不變量，要在遞歸中保持這個不變量。

在切割的過程中會產生四個區間，把握不好不變量的話，一會左閉右開，一會左閉又閉，必然亂套!

我在704.二分查找和59.螺旋矩陣II中都強調過循環不變量的重要性，在二分查找以及螺旋矩陣的求解中，堅持循環不變量非常重要，本題也是。

首先要切割中序數組，為什么先切割中序數組呢?

切割點在后序數組的最后一個元素，就是用這個元素來切割中序數組的，所以必要先切割中序數組。

中序數組相對比較好切，找到切割點(后序數組的最后一個元素)在中序數組的位置，然后切割，如下代碼中我堅持左閉右開的原則：

// 找到中序遍歷的切割點 
int delimiterIndex; 
for (delimiterIndex = 0; delimiterIndex < inorder.size(); delimiterIndex++) { 
    if (inorder[delimiterIndex] == rootValue) break; 
} 
 
// 左閉右開區間：[0, delimiterIndex) 
vector<int> leftInorder(inorder.begin(), inorder.begin() + delimiterIndex); 
// [delimiterIndex + 1, end) 
vector<int> rightInorder(inorder.begin() + delimiterIndex + 1, inorder.end() );

接下來就要切割后序數組了。

首先后序數組的最后一個元素指定不能要了，這是切割點也是當前二叉樹中間節點的元素，已經用了。

后序數組的切割點怎么找?

后序數組沒有明確的切割元素來進行左右切割，不像中序數組有明確的切割點，切割點左右分開就可以了。

此時有一個很重的點，就是中序數組大小一定是和后序數組的大小相同的(這是必然)。

中序數組我們都切成了左中序數組和右中序數組了，那么后序數組就可以按照左中序數組的大小來切割，切成左后序數組和右后序數組。

代碼如下：

// postorder 舍棄末尾元素，因為這個元素就是中間節點，已經用過了 
postorder.resize(postorder.size() - 1); 
 
// 左閉右開，注意這里使用了左中序數組大小作為切割點：[0, leftInorder.size) 
vector<int> leftPostorder(postorder.begin(), postorder.begin() + leftInorder.size()); 
// [leftInorder.size(), end) 
vector<int> rightPostorder(postorder.begin() + leftInorder.size(), postorder.end());

此時，中序數組切成了左中序數組和右中序數組，后序數組切割成左后序數組和右后序數組。

接下來可以遞歸了，代碼如下：

root->left = traversal(leftInorder, leftPostorder); 
root->right = traversal(rightInorder, rightPostorder);

完整代碼如下：

C++完整代碼

class Solution { 
private: 
    TreeNode* traversal (vector<int>& inorder, vector<int>& postorder) { 
        if (postorder.size() == 0) return NULL; 
 
        // 后序遍歷數組最后一個元素，就是當前的中間節點 
        int rootValue = postorder[postorder.size() - 1]; 
        TreeNode* root = new TreeNode(rootValue); 
 
        // 葉子節點 
        if (postorder.size() == 1) return root; 
 
        // 找到中序遍歷的切割點 
        int delimiterIndex; 
        for (delimiterIndex = 0; delimiterIndex < inorder.size(); delimiterIndex++) { 
            if (inorder[delimiterIndex] == rootValue) break; 
        } 
 
        // 切割中序數組 
        // 左閉右開區間：[0, delimiterIndex) 
        vector<int> leftInorder(inorder.begin(), inorder.begin() + delimiterIndex); 
        // [delimiterIndex + 1, end) 
        vector<int> rightInorder(inorder.begin() + delimiterIndex + 1, inorder.end() ); 
 
        // postorder 舍棄末尾元素 
        postorder.resize(postorder.size() - 1); 
 
        // 切割后序數組 
        // 依然左閉右開，注意這里使用了左中序數組大小作為切割點 
        // [0, leftInorder.size) 
        vector<int> leftPostorder(postorder.begin(), postorder.begin() + leftInorder.size()); 
        // [leftInorder.size(), end) 
        vector<int> rightPostorder(postorder.begin() + leftInorder.size(), postorder.end()); 
 
        root->left = traversal(leftInorder, leftPostorder); 
        root->right = traversal(rightInorder, rightPostorder); 
 
        return root; 
    } 
public: 
    TreeNode* buildTree(vector<int>& inorder, vector<int>& postorder) { 
        if (inorder.size() == 0 || postorder.size() == 0) return NULL; 
        return traversal(inorder, postorder); 
    } 
};

相信大家自己就算是思路清晰，代碼寫出來一定是各種問題，所以一定要加日志來調試，看看是不是按照自己思路來切割的，不要大腦模擬，那樣越想越糊涂。

下面給出用下表索引寫出的代碼版本：(思路是一樣的，只不過不用重復定義vector了，每次用下表索引來分割)

C++優化版本

那么這個版本寫出來依然要打日志進行調試，打日志的版本如下：(該版本不要在leetcode上提交，容易超時)

class Solution { 
private: 
    TreeNode* traversal (vector<int>& inorder, int inorderBegin, int inorderEnd, vector<int>& postorder, int postorderBegin, int postorderEnd) { 
        if (postorderBegin == postorderEnd) return NULL; 
 
        int rootValue = postorder[postorderEnd - 1]; 
        TreeNode* root = new TreeNode(rootValue); 
 
        if (postorderEnd - postorderBegin == 1) return root; 
 
        int delimiterIndex; 
        for (delimiterIndex = inorderBegin; delimiterIndex < inorderEnd; delimiterIndex++) { 
            if (inorder[delimiterIndex] == rootValue) break; 
        } 
        // 切割中序數組 
        // 左中序區間，左閉右開[leftInorderBegin, leftInorderEnd) 
        int leftInorderBegin = inorderBegin; 
        int leftInorderEnd = delimiterIndex; 
        // 右中序區間，左閉右開[rightInorderBegin, rightInorderEnd) 
        int rightInorderBegin = delimiterIndex + 1; 
        int rightInorderEnd = inorderEnd; 
 
        // 切割后序數組 
        // 左后序區間，左閉右開[leftPostorderBegin, leftPostorderEnd) 
        int leftPostorderBegin =  postorderBegin; 
        int leftPostorderEnd = postorderBegin + delimiterIndex - inorderBegin; // 終止位置是 需要加上 中序區間的大小size 
        // 右后序區間，左閉右開[rightPostorderBegin, rightPostorderEnd) 
        int rightPostorderBegin = postorderBegin + (delimiterIndex - inorderBegin); 
        int rightPostorderEnd = postorderEnd - 1; // 排除最后一個元素，已經作為節點了 
 
        cout << "----------" << endl; 
        cout << "leftInorder :"; 
        for (int i = leftInorderBegin; i < leftInorderEnd; i++) { 
            cout << inorder[i] << " "; 
        } 
        cout << endl; 
 
        cout << "rightInorder :"; 
        for (int i = rightInorderBegin; i < rightInorderEnd; i++) { 
            cout << inorder[i] << " "; 
        } 
        cout << endl; 
 
        cout << "leftpostorder :"; 
        for (int i = leftPostorderBegin; i < leftPostorderEnd; i++) { 
            cout << postorder[i] << " "; 
        } 
        cout << endl; 
 
        cout << "rightpostorder :"; 
        for (int i = rightPostorderBegin; i < rightPostorderEnd; i++) { 
            cout << postorder[i] << " "; 
        } 
        cout << endl; 
 
        root->left = traversal(inorder, leftInorderBegin, leftInorderEnd,  postorder, leftPostorderBegin, leftPostorderEnd); 
        root->right = traversal(inorder, rightInorderBegin, rightInorderEnd, postorder, rightPostorderBegin, rightPostorderEnd); 
 
        return root; 
    } 
public: 
    TreeNode* buildTree(vector<int>& inorder, vector<int>& postorder) { 
        if (inorder.size() == 0 || postorder.size() == 0) return NULL; 
        return traversal(inorder, 0, inorder.size(), postorder, 0, postorder.size()); 
    } 
};

從前序與中序遍歷序列構造二叉樹

題目地址：https://leetcode-cn.com/problems/construct-binary-tree-from-preorder-and-inorder-traversal/

根據一棵樹的前序遍歷與中序遍歷構造二叉樹。

注意: 你可以假設樹中沒有重復的元素。

例如，給出

前序遍歷 preorder = [3,9,20,15,7] 中序遍歷 inorder = [9,3,15,20,7] 返回如下的二叉樹：

從前序與中序遍歷序列構造二叉樹

思路

本題和106是一樣的道理。

我就直接給出代碼了。

class Solution { 
private: 
        TreeNode* traversal (vector<int>& inorder, int inorderBegin, int inorderEnd, vector<int>& preorder, int preorderBegin, int preorderEnd) { 
        if (preorderBegin == preorderEnd) return NULL; 
 
        int rootValue = preorder[preorderBegin]; // 注意用preorderBegin 不要用0 
        TreeNode* root = new TreeNode(rootValue); 
 
        if (preorderEnd - preorderBegin == 1) return root; 
 
        int delimiterIndex; 
        for (delimiterIndex = inorderBegin; delimiterIndex < inorderEnd; delimiterIndex++) { 
            if (inorder[delimiterIndex] == rootValue) break; 
        } 
        // 切割中序數組 
        // 中序左區間，左閉右開[leftInorderBegin, leftInorderEnd) 
        int leftInorderBegin = inorderBegin; 
        int leftInorderEnd = delimiterIndex; 
        // 中序右區間，左閉右開[rightInorderBegin, rightInorderEnd) 
        int rightInorderBegin = delimiterIndex + 1; 
        int rightInorderEnd = inorderEnd; 
 
        // 切割前序數組 
        // 前序左區間，左閉右開[leftPreorderBegin, leftPreorderEnd) 
        int leftPreorderBegin =  preorderBegin + 1; 
        int leftPreorderEnd = preorderBegin + 1 + delimiterIndex - inorderBegin; // 終止位置是起始位置加上中序左區間的大小size 
        // 前序右區間, 左閉右開[rightPreorderBegin, rightPreorderEnd) 
        int rightPreorderBegin = preorderBegin + 1 + (delimiterIndex - inorderBegin); 
        int rightPreorderEnd = preorderEnd; 
 
        root->left = traversal(inorder, leftInorderBegin, leftInorderEnd,  preorder, leftPreorderBegin, leftPreorderEnd); 
        root->right = traversal(inorder, rightInorderBegin, rightInorderEnd, preorder, rightPreorderBegin, rightPreorderEnd); 
 
        return root; 
    } 
 
public: 
    TreeNode* buildTree(vector<int>& preorder, vector<int>& inorder) { 
        if (inorder.size() == 0 || preorder.size() == 0) return NULL; 
 
        // 參數堅持左閉右開的原則 
        return traversal(inorder, 0, inorder.size(), preorder, 0, preorder.size()); 
    } 
};

思考題

前序和中序可以唯一確定一顆二叉樹。

后序和中序可以唯一確定一顆二叉樹。

那么前序和后序可不可以唯一確定一顆二叉樹呢?

前序和后序不能唯一確定一顆二叉樹!，因為沒有中序遍歷無法確定左右部分，也就是無法分割。

舉一個例子：

從中序與后序遍歷序列構造二叉樹2

tree1 的前序遍歷是[1 2 3]，后序遍歷是[3 2 1]。

tree2 的前序遍歷是[1 2 3]，后序遍歷是[3 2 1]。

那么tree1 和 tree2 的前序和后序完全相同，這是一棵樹么，很明顯是兩棵樹!

所以前序和后序不能唯一確定一顆二叉樹!

總結

之前我們講的二叉樹題目都是各種遍歷二叉樹，這次開始構造二叉樹了，思路其實比較簡單，但是真正代碼實現出來并不容易。

所以要避免眼高手低，踏實的把代碼寫出來。

我同時給出了添加日志的代碼版本，因為這種題目是不太容易寫出來調一調就能過的，所以一定要把流程日志打出來，看看符不符合自己的思路。

大家遇到這種題目的時候，也要學會打日志來調試(如何打日志有時候也是個技術活)，不要腦動模擬，腦動模擬很容易越想越亂。

最后我還給出了為什么前序和中序可以唯一確定一顆二叉樹，后序和中序可以唯一確定一顆二叉樹，而前序和后序卻不行。

認真研究完本篇，相信大家對二叉樹的構造會清晰很多。

其他語言版本

Java

從中序與后序遍歷序列構造二叉樹

class Solution { 
    public TreeNode buildTree(int[] inorder, int[] postorder) { 
        return buildTree1(inorder, 0, inorder.length, postorder, 0, postorder.length); 
    } 
    public TreeNode buildTree1(int[] inorder, int inLeft, int inRight, 
                               int[] postorder, int postLeft, int postRight) { 
        // 沒有元素了 
        if (inRight - inLeft < 1) { 
            return null; 
        } 
        // 只有一個元素了 
        if (inRight - inLeft == 1) { 
            return new TreeNode(inorder[inLeft]); 
        } 
        // 后序數組postorder里最后一個即為根結點 
        int rootVal = postorder[postRight - 1]; 
        TreeNode root = new TreeNode(rootVal); 
        int rootIndex = 0; 
        // 根據根結點的值找到該值在中序數組inorder里的位置 
        for (int i = inLeft; i < inRight; i++) { 
            if (inorder[i] == rootVal) { 
                rootIndex = i; 
            } 
        } 
        // 根據rootIndex劃分左右子樹 
        root.left = buildTree1(inorder, inLeft, rootIndex, 
                postorder, postLeft, postLeft + (rootIndex - inLeft)); 
        root.right = buildTree1(inorder, rootIndex + 1, inRight, 
                postorder, postLeft + (rootIndex - inLeft), postRight - 1); 
        return root; 
    } 
}

從前序與中序遍歷序列構造二叉樹

class Solution { 
    public TreeNode buildTree(int[] preorder, int[] inorder) { 
        return helper(preorder, 0, preorder.length - 1, inorder, 0, inorder.length - 1); 
    } 
 
    public TreeNode helper(int[] preorder, int preLeft, int preRight, 
                           int[] inorder, int inLeft, int inRight) { 
        // 遞歸終止條件 
        if (inLeft > inRight || preLeft > preRight) return null; 
 
        // val 為前序遍歷第一個的值，也即是根節點的值 
        // idx 為根據根節點的值來找中序遍歷的下標 
        int idx = inLeft, val = preorder[preLeft]; 
        TreeNode root = new TreeNode(val); 
        for (int i = inLeft; i <= inRight; i++) { 
            if (inorder[i] == val) { 
                idx = i; 
                break; 
            } 
        } 
 
        // 根據 idx 來遞歸找左右子樹 
        root.left = helper(preorder, preLeft + 1, preLeft + (idx - inLeft), 
                         inorder, inLeft, idx - 1); 
        root.right = helper(preorder, preLeft + (idx - inLeft) + 1, preRight, 
                         inorder, idx + 1, inRight); 
        return root; 
    } 
}

Python

從前序與中序遍歷序列構造二叉樹

class Solution: 
    def buildTree(self, preorder: List[int], inorder: List[int]) -> TreeNode: 
        # 第一步: 特殊情況討論: 樹為空. 或者說是遞歸終止條件 
        if not preorder: 
            return None 
 
        # 第二步: 前序遍歷的第一個就是當前的中間節點. 
        root_val = preorder[0] 
        root = TreeNode(root_val) 
 
        # 第三步: 找切割點. 
        separator_idx = inorder.index(root_val) 
 
        # 第四步: 切割inorder數組. 得到inorder數組的左,右半邊. 
        inorder_left = inorder[:separator_idx] 
        inorder_right = inorder[separator_idx + 1:] 
 
        # 第五步: 切割preorder數組. 得到preorder數組的左,右半邊. 
        # ⭐️ 重點1: 中序數組大小一定跟前序數組大小是相同的. 
        preorder_left = preorder[1:1 + len(inorder_left)] 
        preorder_right = preorder[1 + len(inorder_left):] 
 
        # 第六步: 遞歸 
        root.left = self.buildTree(preorder_left, inorder_left) 
        root.right = self.buildTree(preorder_right, inorder_right) 
 
        return root

從中序與后序遍歷序列構造二叉樹

class Solution: 
    def buildTree(self, inorder: List[int], postorder: List[int]) -> TreeNode: 
        # 第一步: 特殊情況討論: 樹為空. (遞歸終止條件) 
        if not postorder: 
            return None 
 
        # 第二步: 后序遍歷的最后一個就是當前的中間節點. 
        root_val = postorder[-1] 
        root = TreeNode(root_val) 
 
        # 第三步: 找切割點. 
        separator_idx = inorder.index(root_val) 
 
        # 第四步: 切割inorder數組. 得到inorder數組的左,右半邊. 
        inorder_left = inorder[:separator_idx] 
        inorder_right = inorder[separator_idx + 1:] 
 
        # 第五步: 切割postorder數組. 得到postorder數組的左,右半邊. 
        # ⭐️ 重點1: 中序數組大小一定跟后序數組大小是相同的. 
        postorder_left = postorder[:len(inorder_left)] 
        postorder_right = postorder[len(inorder_left): len(postorder) - 1] 
 
        # 第六步: 遞歸 
        root.left = self.buildTree(inorder_left, postorder_left) 
        root.right = self.buildTree(inorder_right, postorder_right) 
 
        return root

責任編輯：姜華來源：代碼隨想錄

二叉樹數據結構算法