淺談壓縮算法的那些事兒
1. 開場白
好久不見，我是所長大白。
無論是做研究還是實際工作，都需要經過長期的積累，才能深刻理解存在的問題、解決方法、瓶頸所在、突破方向等等。
今天和大家聊一下壓縮算法相關的知識點，廢話不說，馬上開始閱讀之旅吧!
2.壓縮算法的理論基礎
任何適用于工程的算法都有它的數學和信息學理論基礎。
就如同我們寫論文要先做仿真，理論給實踐提供了一定的方向和依據。
對于壓縮算法來說，我們肯定會問：這是壓縮極限了嗎?還有提升空間嗎?
2.1 信息學之父
聊到這里，不得不提到信息學之父克勞德·艾爾伍德·香農，來簡單看下他的履歷簡介：
克勞德·艾爾伍德·香農(Claude Elwood Shannon ，1916年4月30日—2001年2月24日)是美國數學家、信息論的創始人。
1936年獲得密歇根大學學士學位，1940年在麻省理工學院獲得碩士和博士學位，1941年進入貝爾實驗室工作，1956年他成為麻省理工學院客座教授，并于1958年成為終生教授，1978年成為名譽教授。
香農提出了信息熵的概念，為信息論和數字通信奠定了基礎，他也是一位著名的密碼破譯者。他在貝爾實驗室破譯團隊主要追蹤德國飛機和火箭。
相關論文：1938年的碩士論文《繼電器與開關電路的符號分析》，1948年的《通訊的數學原理》和1949年的《噪聲下的通信》，1949年的另外一篇重要論文《Communication Theory of Secrecy Systems》。
看完這段介紹，我感覺自己被秒成了粉末了，只能默默打開了網抑云，生而為人，我很遺憾。
2.3 信息熵entropy
熵本身是一個熱力學范疇的概念，描述了一種混亂程度和無序性。
這是個特別有用的概念，因為自然界的本質就是無序和混亂。
舉個不恰當的例子，我們經常看娛樂圈八卦新聞的時候，會說信息量很大，上熱搜了等等，那么我們該如何去度量信息量呢?
前面提到的信息學之父香農就解決了信息的度量問題，讓一種無序不確定的狀態有了數學語言的描述。
在1948年的論文《A Mathematical Theory of Communication》中作者將Entropy與Uncertainty等價使用的。
文中提出了信息熵是信息的不確定性(Uncertainty)的度量，不確定性越大，信息熵越大。
論文地址：http://people.math.harvard.edu/~ctm/home/text/others/shannon/entropy/entropy.pdf
在論文的第6章給出信息熵的幾個屬性以及信息熵和不確定性之間的聯系：
簡單翻譯一下：
- 信息熵是隨著概率連續變化的;
- 如果構成事件的各個因素的概率相等，那么信息熵隨構成因素總數n的增加而增加，即選擇越多，不確定性越大。
- 當一個選擇可以分解為兩個連續選擇時，分解前后的熵值應該相等，不確定性相同。
我們假設一個事件有多種可能的選擇，每個選擇的概率分別記為p1,p2....pn，文章進一步給出了概率和信息熵的公式：
其中k為一個正常量。
經過前面的一些分析，我們基本上快懵圈了，太難了。
所以，我們暫且記住一個結論：信息是可度量的，并且和概率分布有直接聯系。
3. 數據壓縮的本質
既然有了理論的支持，那么我們來想一想 如何進行數據壓縮呢?
數據壓縮可以分為：無損壓縮和有損壓縮。
無損壓縮 適用于必須完整還原原始信息的場合，例如文本、可執行文件、源代碼等。
有損壓縮，壓縮比很高但無法完整還原原始信息，主要應用于視頻、音頻等數據的壓縮。
3.1 數據壓縮的定義
壓縮的前提是冗余的存在，消除冗余就是壓縮，用更少的信息來完整表達信息，來看下百科的定義：
數據壓縮是指在不丟失有用信息的前提下，縮減數據量以減少存儲空間，提高其傳輸、存儲和處理效率，
需要按照一定的算法對數據進行重新組織，減少數據的冗余和存儲的空間的一種技術方法。
舉幾個簡單的例子：
- "北京交通大學的交通信息工程及控制專業不錯" 和 "北交的交控專業不錯"
在上述文本中"北京交通大學"可以用"北交"代替，"交通信息工程及控制專業"可以用"交控專業"代替。
- "aaaaaaaaxxxxxxkkkkkkzzzzzzzzzz" 和 "8a6x6k10z"
在上述文本中有比較明顯的局部重復，比如a出現了8次，z出現了10次，如果我們在分析了輸入字符的分布規律之后，確定了"重復次數+字符"的規則，就可以進行替換了。
3.2 概率分布和數據編碼
本質上來說，數據壓縮就是找到待壓縮內容的概率分布，再按照一定的編碼算法，將那些出現概率高的部分代替成更短的形式。
所以輸入內容重復的部分越多，就可以壓縮地越小，壓縮率越高，如果內容幾乎沒有重復完全隨機，就很難壓縮。
這個和我們平時優化代碼性能的思路非常相似，熱點代碼的優化才能帶來更大的收益。
3.3 數據壓縮極限
前面提到了，用較短的字符串來替換較長的字符串就實現了壓縮，那么如果對每次替換都使用最短的字符串，應該就可以認為是最優壓縮了。
所以我們需要找到理論上的最短替換串的長度，換到二進制來說就是二進制的長度，這樣就可以接近壓縮極限了。
我們來分析一下：
- 拋硬幣 只有正面和反面 兩種情況 因此使用1位二進制 0和1 就可以
- 籃球比賽 存在勝/負/平 三種情況 因此需要使用2位二進制 00勝 01負 10平
- 猜生日月份 存在1-12月 12種情況 因此需要使用4位二進制 來表示各個月份
- 如果可能性有n個不同的值，那么替換串就需要log2(n)個二進制位來表示
假定內容由n個部分組成，每個部分出現概率分別為p1、p2、...pn，那么替代符號占據的二進制最少為：
- log2(1/p1) + log2(1/p2) + ... + log2(1/pn) = ∑ log2(1/pn)
可能的情況越多，需要的二進制長度可能就越長，對于n相等的兩個文件，概率p決定了這個式子的大?。?/p>
- p越大，表明文件內容越有規律，壓縮后的體積就越小;
- p越小，表明文件內容越隨機，壓縮后的體積就越大。
舉例：有一個文件包含A, B, C個三種不同的字符，50%是A，30%是B，20%是C，文件總共包含1024個字符，每個字符所占用的二進制位的數學期望為：
- 0.5*log2(1/0.5) + 0.3*log2(1/0.3) + 0.2*log2(1/0.2)=1.49
求得壓縮后每個字符平均占用1.49個二進制位，理論上最少需要1.49*1024=1526個二進制位，約0.1863KB，最終的壓縮比接近于18.63%。
4. 霍夫曼編碼簡介
哈夫曼編碼(Huffman Coding)，又稱霍夫曼編碼，是一種編碼方式，哈夫曼編碼是可變字長編碼(VLC)的一種。Huffman于1952年提出一種編碼方法，該方法完全依據字符出現概率來構造異字頭的平均長度最短的碼字，有時稱之為最佳編碼，一般就叫做Huffman編碼(有時也稱為霍夫曼編碼)。
霍夫曼編碼使用變長編碼表對源符號進行編碼，其中變長編碼表是通過評估源符號出現的幾率得到的。
出現幾率高的字母使用較短的編碼，出現幾率低的字母使用較長的編碼，這使得編碼之后字符串的總長度降低。
4.1 前綴編碼
霍夫曼編碼除了使用變長碼之外，還使用前綴編碼來確保解碼時的唯一性，舉個例子：
A-0 C-1 B-00 D-01 則編碼后為：000011010
當我們對它進行解碼的時候，會發現 0000 可能對應多種解碼方式，如 AAAA、AAB、ABA、BB。
霍夫曼樹中葉子節點之間不存在父子關系，所以每個葉子節點的編碼就不可能是其它葉子節點編碼的前綴，這是非常重要的。
4.2 霍夫曼樹簡單構造
霍夫曼樹是霍夫曼編碼的重要組成部分，我們拿一個具體的例子來看下霍夫曼樹的一點特性。
- 輸入數據："boob is bee boy"
- 字符串集合和頻次統計
- 集合 {b,o,s,i,e,y}
- 頻次 {b:4,o:3,e:2,i:1,y:1,s:1}
- 總計有6個字符，因此需要3位二進制
- 按照頻率越高字符越短&前綴編碼規則進行處理
- b:00
- o:01
- e:100
- i:101
- y:110
- s:111
- 注意：e并不是001，因為這樣不符合前綴編碼 b是e的父節點
霍夫曼編碼的原理和實現還是比較復雜的，篇幅有限，后面單獨寫一篇文章詳細介紹。
5. 本文小結
本文對數據壓縮進行了簡要的介紹，說明了數據壓縮的本質和算法的基本原理，以及霍夫曼樹的一些原理。
數據壓縮和分析內容的概率分布以及編碼有直接的關系，但是各個場景下輸入內容的側重點會有所不同，利用機器學習來處理數據壓縮也是當前的一個熱門話題。
篇幅有限，后續會重點展開一些細節，這篇就算拋磚引玉開頭篇了。
我們下期見。
