Nature評(píng)論：機(jī)器學(xué)習(xí)的物理啟示錄——隔壁的另一條機(jī)遇之道

作者：我在思考中 2021-11-30 09:57:42

在本文中，作者詳細(xì)介紹了物理學(xué)——這個(gè)古老、嚴(yán)謹(jǐn)、充斥著各種智商怪物爭(zhēng)相斗法的傳統(tǒng)學(xué)術(shù)方向，是如何與機(jī)器學(xué)習(xí)和深度學(xué)習(xí)擦出智慧的火花的。

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神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，對(duì)于這個(gè)熟悉的名詞，我們一聽(tīng)之下便知它深受生物學(xué)的影響，尤其是腦神經(jīng)科學(xué)。雖然神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的靈感最初源于生物學(xué)，但是隨著人們研究的深入，生物學(xué)這個(gè)母體學(xué)科中可用資源日漸枯竭。但是與生物一墻之隔的物理學(xué)還是處于一片藍(lán)海，這片科研的處女地中的很多經(jīng)驗(yàn)和研究方法論有望幫助神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究變得更加優(yōu)秀，找到更多的真理。因此，近些年不少工作開(kāi)始琢磨如何在機(jī)器學(xué)習(xí)和物理學(xué)之間建立更強(qiáng)的紐帶，設(shè)計(jì)出更加強(qiáng)大的計(jì)算方法。

自誕生之初，機(jī)器學(xué)習(xí)和物理學(xué)便有著十分緊密的關(guān)聯(lián)。早在1982年，John Hopfield就進(jìn)行了第一步嘗試，他在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和物理學(xué)之間建立了第一座互通有無(wú)橋梁。Hopfield發(fā)現(xiàn)，在物理學(xué)中，一個(gè)由相互作用的粒子組成的粒子群物理系統(tǒng)中，粒子間通常會(huì)產(chǎn)生一些形似磁性力的作用現(xiàn)象。

Hopfield于是將這種相互作用的現(xiàn)象借鑒到了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的設(shè)計(jì)當(dāng)中，尤其是網(wǎng)絡(luò)中的那些具有自發(fā)計(jì)算特性的神經(jīng)元結(jié)構(gòu)。因此，Hopfield發(fā)明出了“Hopfield network”，而它則是遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（RNN）的前身。

時(shí)至今日，RNN的廣泛應(yīng)用無(wú)需贅述，它大量的應(yīng)用在時(shí)序分析、自然語(yǔ)言處理等領(lǐng)域。只要數(shù)據(jù)之間具有時(shí)間依賴(lài)性、時(shí)序動(dòng)態(tài)特征，那么RNN就是一個(gè)十分優(yōu)秀的備選方案。

換個(gè)角度來(lái)看，理論物理學(xué)有望幫助人們從基礎(chǔ)上重新認(rèn)識(shí)機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域。早在1984年，L. G. Valiant就發(fā)表了一篇經(jīng)典論文《A theory of the learnable》，在其中，他便對(duì)此定下了基調(diào)。

論文地址：https://dl.acm.org/doi/10.1145/1968.1972

這篇論文介紹了一個(gè)嚴(yán)格的學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)理論，可以看作是一切可學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。它突破了現(xiàn)在深度學(xué)習(xí)、機(jī)器學(xué)習(xí)中以數(shù)學(xué)為根基的可學(xué)習(xí)或?qū)W習(xí)算法的范疇，而以更高、更宏觀的角度來(lái)討論模型、人類(lèi)、或各種事件的“可學(xué)習(xí)性”。

概括來(lái)說(shuō)，作者將學(xué)習(xí)行為定義為一種“在沒(méi)有顯示程序化的情況下獲取知識(shí)的現(xiàn)象”，文章從計(jì)算的角度給出了研究學(xué)習(xí)現(xiàn)象的具體方法，包括選擇正確的信息收集方法、學(xué)習(xí)方法、以及搜索選擇合理的描述計(jì)算方法、計(jì)算步驟的數(shù)學(xué)概念類(lèi)型。

1. 深度學(xué)習(xí)應(yīng)該從物理中學(xué)點(diǎn)什么？

但當(dāng)時(shí)間來(lái)到2010年代，經(jīng)歷了漫長(zhǎng)蟄伏的深度學(xué)習(xí)異軍突起，在諸多領(lǐng)域中以迅雷不及掩耳之勢(shì)大肆霸榜，刷新各種記錄并吊打其他傳統(tǒng)算法。深度學(xué)習(xí)憑借其彪悍強(qiáng)大的泛化能力，以及不可理喻的非線性學(xué)習(xí)能力贏得了世人的驚嘆和承認(rèn)。但是隨之而來(lái)的，也有質(zhì)疑和困惑，這個(gè)黑箱家伙的背后，究竟隱藏著什么未解之謎？

在最近發(fā)表在《Nature Physics》雜志上的一篇評(píng)論論文中，Lenka Zdeborová研究員呼吁科研人員嘗試重新使用“物理學(xué)啟發(fā)的方法（Physics-inspired approaches）”來(lái)解決實(shí)際生活中那些復(fù)雜而毫無(wú)頭緒的建模問(wèn)題。

在這篇名為《Understanding deep learning is also a job for physicists》的文章中，作者首先贊揚(yáng)了深度學(xué)習(xí)的廣泛應(yīng)用，以及在諸多領(lǐng)域中的卓越表現(xiàn)。

文章地址：https://www.nature.com/articles/s41567-020-0929-2

但是也一針見(jiàn)血的指出這種“無(wú)腦”訓(xùn)練的方法在某種意義上不夠“優(yōu)雅”，它浪費(fèi)了大量了計(jì)算資源和泛化能力，可能費(fèi)勁千辛萬(wàn)苦訓(xùn)練出一個(gè)龐大復(fù)雜的模型結(jié)果只是解決了一個(gè)y=kx+b的問(wèn)題。

換句話說(shuō)，深度學(xué)習(xí)的研究很多情況下沒(méi)有剖析到問(wèn)題的本質(zhì)，他們沒(méi)有深入的分析數(shù)據(jù)，沒(méi)有細(xì)致的觀察數(shù)據(jù)之間的關(guān)聯(lián)和變化，因而也沒(méi)有對(duì)其背后的規(guī)律和真正的核心模型進(jìn)行理解和探究。極有可能的是，我們訓(xùn)練出了一把舉世無(wú)雙的屠龍寶刀，目的是給裝修公司刮大白——雖然好使，但是物理學(xué)家們還是覺(jué)得膩?zhàn)隅P好使……當(dāng)然，作者也有呼吁物理學(xué)家借鑒深度學(xué)習(xí)這個(gè)工具加速各自理論研究和模型研究的初衷。

具體來(lái)說(shuō)，Lenka指出：物理學(xué)家擅長(zhǎng)于歸納總結(jié)，總能夠透過(guò)數(shù)據(jù)看到其后的本質(zhì)。物理學(xué)家們擁有豐富的經(jīng)驗(yàn)，他們可以輕松的處理數(shù)量龐大、異構(gòu)、多模態(tài)且量級(jí)各異的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，并且從中抽絲剝繭，像福爾摩斯一樣找到問(wèn)題背后的規(guī)律。

因此，物理學(xué)家們總能找到問(wèn)題背后的本質(zhì)，并且對(duì)其中重要的那部分合理建模。而對(duì)于數(shù)據(jù)中那些無(wú)關(guān)緊要的噪聲和細(xì)節(jié)，物理學(xué)家們也能夠把它們準(zhǔn)確的剔除出來(lái)并且忽略。可怕的是，物理學(xué)家甚至還總能通過(guò)分析和調(diào)查來(lái)測(cè)試這些猜想和模型。

一個(gè)典型的例子是物理學(xué)中十分成功的磁學(xué)模型-Ising模型。Ising沒(méi)有使用任何關(guān)于磁相互作用或材料特性的量子力學(xué)先驗(yàn)細(xì)節(jié)，但它卻可以準(zhǔn)確的模擬出自然界中的若干種類(lèi)型的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象。

事實(shí)上，計(jì)算科學(xué)家們?cè)谥笠矅L試對(duì)同樣的問(wèn)題基于數(shù)據(jù)建立了機(jī)器學(xué)習(xí)方法。他們?cè)?jīng)設(shè)計(jì)了一個(gè)Hopfield網(wǎng)絡(luò)，喂給它超大規(guī)模的數(shù)據(jù)后，訓(xùn)練出來(lái)的模型居然和Ising別無(wú)二致，二者結(jié)果完全相同。

可以說(shuō)，這就是一個(gè)機(jī)器學(xué)習(xí)版本的Ising網(wǎng)絡(luò)。這也從側(cè)面說(shuō)明了Ising模型的成功。所以說(shuō)，如果我們想對(duì)深度學(xué)習(xí)的理論有進(jìn)一步的理解、如果我們想揭開(kāi)深度學(xué)習(xí)黑盒背后的神秘面紗，那物理學(xué)所啟發(fā)的歸納思路可能是個(gè)不錯(cuò)的突破口。

我們可以稍微展開(kāi)來(lái)講，為什么說(shuō)物理學(xué)有望成為深度學(xué)習(xí)理論的突破口呢？我們知道，深度學(xué)習(xí)的可解釋性研究或合理性理論研究一直是一個(gè)熱門(mén)的領(lǐng)域。由于深度學(xué)習(xí)黑盒不可解釋的特性，它被例如醫(yī)療等領(lǐng)域嚴(yán)格限制著。如果一個(gè)產(chǎn)品想通過(guò)CFDA、CE的認(rèn)證，那么你需要將算法的理論講的一清二楚，畢竟人命關(guān)天。

因此，如果我們可以從物理學(xué)的角度對(duì)深度學(xué)習(xí)的可解釋性進(jìn)行系統(tǒng)的闡述和研究，甚至哪怕是一點(diǎn)點(diǎn)微小的進(jìn)步，也將會(huì)被業(yè)界和學(xué)界當(dāng)作救命稻草一樣牢牢抓住并異常珍惜。

那么針對(duì)深度學(xué)習(xí)可以計(jì)算什么？我們?nèi)绾斡?xùn)練它們？信息是如何通過(guò)它們傳播的？為什么它們可以泛化？我們?nèi)绾谓趟鼈兿胂?hellip;…等等的靈魂拷問(wèn)，都將是研究的重點(diǎn)。目前，有些工作比如《Statistical Mechanics of Deep Learning》從統(tǒng)計(jì)力學(xué)的物理分析角度來(lái)為這些問(wèn)題提供根源概念上的解釋。

論文地址：https://www.annualreviews.org/doi/10.1146/annurev-conmatphys-031119-050745

這些解釋方法將深度學(xué)習(xí)與各種物理和數(shù)學(xué)主題聯(lián)系起來(lái)，包括隨機(jī)景觀、自旋玻璃、干擾、動(dòng)態(tài)相變、混沌、黎曼幾何、隨機(jī)矩陣?yán)碚摗⒆杂筛怕屎头瞧胶饨y(tǒng)計(jì)力學(xué)。

事實(shí)上，統(tǒng)計(jì)力學(xué)和機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域，自古以來(lái)就有著很強(qiáng)的耦合性，以及豐富的互動(dòng)歷史，而統(tǒng)計(jì)力學(xué)和深度學(xué)習(xí)交叉點(diǎn)的最新進(jìn)展表明，這些互動(dòng)有望會(huì)進(jìn)一步繁衍生息，并最終為我們深度學(xué)習(xí)的理論研究和可解釋性，提供振奮人心突破的可能！

2. 大家都是如何結(jié)合物理學(xué)的

從實(shí)際應(yīng)用的角度來(lái)看，深度學(xué)習(xí)有著“大力出奇跡”的屬性。只要有足夠多的數(shù)據(jù)和足夠復(fù)雜的神經(jīng)元結(jié)構(gòu)，很多實(shí)際生活中和物理學(xué)中的“百年未解之謎”都能迎刃而解。比如流體力學(xué)、高能物理學(xué)或天氣預(yù)報(bào)。

例如在Christian等人發(fā)表在Nature的工作《Deep recurrent optical flow learning for particle image velocimetry data》中，他們就提出了一種用來(lái)學(xué)習(xí)物理位移場(chǎng)（ displacement fields）的端到端深度學(xué)習(xí)模型。其重點(diǎn)關(guān)注了粒子圖像測(cè)速（PIV）的物理性質(zhì)和動(dòng)態(tài)特點(diǎn)。

論文地址：https://www.nature.com/articles/s42256-021-00369-0

PIV是實(shí)驗(yàn)流體動(dòng)力學(xué)中的一種核心的關(guān)鍵技術(shù)，它在汽車(chē)、航空航天和生物醫(yī)學(xué)工程等多種應(yīng)用中具有至關(guān)重要的意義。目前的PIV數(shù)據(jù)處理方法都是純手工設(shè)計(jì)的，其泛化能力和估計(jì)的因素受到了開(kāi)發(fā)人員的限制，其中也有不少需要手動(dòng)設(shè)置的參數(shù)，其適用范圍和大規(guī)模應(yīng)用受到極大的挑戰(zhàn)。

相比之下，作者所提出的基于深度學(xué)習(xí)的PIV方法則基于了最近的光流學(xué)習(xí)體系結(jié)構(gòu)（稱(chēng)為遞歸全對(duì)場(chǎng)變換），這個(gè)模型的應(yīng)用范圍更加廣泛，具有通用的使用屬性。其中的大部分參數(shù)設(shè)定、計(jì)算泛化和結(jié)構(gòu)調(diào)整也都是自動(dòng)化的，還能提供極高的空間分辨率。

現(xiàn)在學(xué)界一個(gè)活躍的方向，便是使用機(jī)器學(xué)習(xí)模型來(lái)估計(jì)出偏微分方程形式的數(shù)學(xué)公式解，這些數(shù)學(xué)公式解的規(guī)則是紊流（turbulence）等復(fù)雜動(dòng)態(tài)現(xiàn)象的理論基礎(chǔ)。在《Nature Reviews Physics》最近的一篇評(píng)論文章中，George Karniadakis及其同事便對(duì)其進(jìn)行了相當(dāng)細(xì)致的討論。他們認(rèn)為，物理學(xué)可以結(jié)合深度學(xué)習(xí)方法來(lái)解決復(fù)雜的動(dòng)態(tài)問(wèn)題，并給出了多個(gè)結(jié)合的思路，也闡述了一些具體的例子，包括地震預(yù)測(cè)和分子動(dòng)力學(xué)等。

另一個(gè)很有前途的研究方向是用深度學(xué)習(xí)來(lái)解決優(yōu)化問(wèn)題，特別是組合優(yōu)化（combinatorial optimization）問(wèn)題。在該類(lèi)問(wèn)題中，算法必須在一個(gè)非常大的有限可能配置空間中找到最優(yōu)解。這個(gè)配置空間的大小會(huì)隨著問(wèn)題的輸入規(guī)模呈指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)。因此，基于窮舉搜索的解決策略是不可行的，這會(huì)導(dǎo)致維度災(zāi)難。

具體來(lái)說(shuō)，為了解決組合優(yōu)化問(wèn)題，Yoshua Bengio的很多工作開(kāi)始逐漸從研究統(tǒng)籌學(xué)解過(guò)渡到利用深度學(xué)習(xí)求解的領(lǐng)域。

論文地址：https://arxiv.org/pdf/1811.06128v2.pdf

這些組合優(yōu)化的求解問(wèn)題通常十分困難，其數(shù)學(xué)難度較大。但是目前主流的算法都是靠手工設(shè)計(jì)的啟發(fā)式算法，它們的可解釋性和靈活性較高，但是其設(shè)計(jì)代價(jià)較大，而且其決策結(jié)果在某種程度上具有計(jì)算或數(shù)學(xué)定義不明確的問(wèn)題。

因此，很多人轉(zhuǎn)投到機(jī)器學(xué)習(xí)的陣營(yíng)。相對(duì)而言，機(jī)器學(xué)習(xí)方法具有更好的決策原則可追溯性和優(yōu)化方式的優(yōu)越性。當(dāng)然，也有一些工作主張進(jìn)一步加強(qiáng)機(jī)器學(xué)習(xí)和組合優(yōu)化的集成。簡(jiǎn)要來(lái)說(shuō)，它們主要是將一般優(yōu)化問(wèn)題視為數(shù)據(jù)點(diǎn)，并詢(xún)問(wèn)在給定任務(wù)中用于學(xué)習(xí)的問(wèn)題的相關(guān)分布情況。

其實(shí)，為了避免維度災(zāi)難而使用機(jī)器學(xué)習(xí)求解的例子有很多，舉幾個(gè)典型的：Rubik’s Cube魔方問(wèn)題、旅行商問(wèn)題和尋找蛋白質(zhì)的三維結(jié)構(gòu)問(wèn)題。

Rubik's cube其實(shí)就是我們常說(shuō)的魔方，Magic Cube，是因?yàn)?974年Rubik教授發(fā)明了它因此得名。在2019年Nature上發(fā)表的一篇文章中，作者就提出使用深度學(xué)習(xí)方法DeepCubeA來(lái)解決魔方問(wèn)題。DeepCubeA可以學(xué)習(xí)如何在沒(méi)有任何特定領(lǐng)域知識(shí)的情況下，從目標(biāo)狀態(tài)反向解決越來(lái)越困難的魔方問(wèn)題。

論文地址：https://www.nature.com/articles/s42256-019-0070-z

而在更難的蛋白質(zhì)序列預(yù)測(cè)、蛋白質(zhì)三維結(jié)構(gòu)的工作中，Brain等人綜述了學(xué)術(shù)界目前已經(jīng)使用的深度學(xué)習(xí)方法。

文章地址：https://www.nature.com/articles/s41580-019-0163-x

這些方法都是用來(lái)解決蛋白質(zhì)領(lǐng)域中的一個(gè)難題——設(shè)計(jì)折疊成特定三維結(jié)構(gòu)的氨基酸序列。在過(guò)去的十年中，蛋白質(zhì)結(jié)構(gòu)的預(yù)測(cè)和設(shè)計(jì)方法進(jìn)步神速。而計(jì)算能力的提高以及蛋白質(zhì)序列和結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)庫(kù)的快速增長(zhǎng)也同步推動(dòng)了新的數(shù)據(jù)密集型和計(jì)算要求高的結(jié)構(gòu)預(yù)測(cè)方法的發(fā)展。

因此很多算法可以經(jīng)過(guò)計(jì)算來(lái)設(shè)計(jì)“蛋白質(zhì)折疊”和“蛋白質(zhì)-蛋白質(zhì)界面”，并也被應(yīng)用于新的高階蛋白質(zhì)組裝體的設(shè)計(jì)，以及從0設(shè)計(jì)具有新穎或增強(qiáng)性質(zhì)的熒光蛋白質(zhì)，以及具有治療潛力的信號(hào)蛋白質(zhì)。

其中，比較具有代表性的是Mohammed Hibat-Allah等人提出的一種融合了經(jīng)典和量子物理學(xué)以及深度學(xué)習(xí)的設(shè)計(jì)，這種方法可以用來(lái)尋找無(wú)序Ising系統(tǒng)的基態(tài)（Ground State）。

論文地址：https://www.nature.com/articles/s42256-021-00401-3

在統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中，優(yōu)化問(wèn)題可以用一種叫做模擬退火的計(jì)算方法來(lái)解決。這是一個(gè)受到冶金學(xué)中的退火過(guò)程的啟發(fā)而被提出來(lái)的啟發(fā)式算法過(guò)程。

在冶金工業(yè)的退火工藝過(guò)程中，固體加溫至充分高，再讓其徐徐冷卻，加溫時(shí)，固體內(nèi)部粒子隨溫升變?yōu)闊o(wú)序狀，內(nèi)能增大，而徐徐冷卻時(shí)粒子漸趨有序，在每個(gè)溫度都達(dá)到平衡態(tài)，最后在常溫時(shí)達(dá)到基態(tài)，內(nèi)能減為最小。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)材料被快速加熱，隨后緩慢冷卻。在冷卻的過(guò)程中，材料在微觀上重新排列成具有所需特性的最佳配置。

而受到這個(gè)現(xiàn)象的啟發(fā)，科學(xué)家總結(jié)出了傳統(tǒng)的模擬退火算法。簡(jiǎn)而言之，它是基于Monte-Carlo迭代求解策略的一種隨機(jī)尋優(yōu)算法，其出發(fā)點(diǎn)是基于物理中固體物質(zhì)的退火過(guò)程與一般組合優(yōu)化問(wèn)題之間的相似性。

模擬退火算法從某一較高初溫出發(fā)，伴隨溫度參數(shù)的不斷下降，結(jié)合概率突跳特性在解空間中隨機(jī)尋找目標(biāo)函數(shù)的全局最優(yōu)解，即在局部最優(yōu)解能概率性地跳出，并最終趨于全局最優(yōu)。

模擬退火算法是一種通用的優(yōu)化算法，理論上算法具有概率的全局優(yōu)化性能，目前已在工程中得到了廣泛應(yīng)用，諸如VLSI、生產(chǎn)調(diào)度、控制工程、機(jī)器學(xué)習(xí)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、信號(hào)處理等領(lǐng)域。

模擬退火算法通過(guò)逐漸減少 "熱波動(dòng) "來(lái)探索在能量的角度中的全局損失最小值（見(jiàn)圖中一個(gè)具有明顯全局最小值的粗糙能量視角的例子）。

一個(gè)簡(jiǎn)化的、非常粗糙的能量可視化圖，它展示了蛋白質(zhì)的折疊分析。圖源：Kuhlman & Bradley. Nat. Rev. Mol. Cell Biol. 20, 681-697 (2019). Springer Nature Ltd

無(wú)論是經(jīng)典還是量子版本的模擬退火算法，對(duì)優(yōu)化問(wèn)題都是很有用的。但其通過(guò)"冷卻"（減少熱波動(dòng)）來(lái)探索優(yōu)化的算法部分通常是一個(gè)緩慢的過(guò)程。Hibat-Allah等人將模擬退火與所謂的變異方法相結(jié)合，通過(guò)一個(gè)循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(RNN)來(lái)對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的聯(lián)合分布進(jìn)行參數(shù)化。這種方法被稱(chēng)為“變異神經(jīng)退火”方法。這種新方法大大加快了模擬退火的算法執(zhí)行過(guò)程。

有必要補(bǔ)充的是，前文所說(shuō)的經(jīng)典模擬退火算法便是1974年Kirkpatrick大神提出的傳統(tǒng)模擬退火算法。

論文地址：https://www.science.org/doi/10.1126/science.220.4598.671

而量子版本則是Santoro等人在2002年的后續(xù)研究，他們通過(guò)比較二維隨機(jī)Ising模型（自旋玻璃原型/a prototype spin glass）上的經(jīng)典和量子Monte Carlo退火算法，證實(shí)了量子退火相對(duì)于經(jīng)典退火的優(yōu)越性。

論文地址：https://www.science.org/doi/10.1126/science.1068774

他們還提出了一種基于Landau-Zener隧道級(jí)聯(lián)事件的量子退火理論，證明了復(fù)雜系統(tǒng)的最低能量組態(tài)比經(jīng)典的熱對(duì)應(yīng)物更有效。

3. 物理+機(jī)器學(xué)習(xí)=未來(lái)可期

可以預(yù)計(jì)，物理學(xué)和機(jī)器學(xué)習(xí)之間還有許多富有成效的互動(dòng)。圍繞著將機(jī)器學(xué)習(xí)與量子信息方法合并的美好期許，人們一定會(huì)非常興奮和鼓舞。

其中一個(gè)值得重點(diǎn)關(guān)注的方向則是用量子計(jì)算機(jī)加速機(jī)器學(xué)習(xí)——這種方法將關(guān)注的重心投注于可靠的量子硬件，具體來(lái)說(shuō)，他們假設(shè)并且討論了量子計(jì)算機(jī)相對(duì)于經(jīng)典計(jì)算在機(jī)器學(xué)習(xí)任務(wù)上的好處。

相關(guān)論文：https://www.nature.com/articles/nature23474

促進(jìn)其實(shí)是相互的，機(jī)器學(xué)習(xí)的概念也在推動(dòng)量子計(jì)算的進(jìn)步。例如Juan等人便提出了一種基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)生成模型的密度矩陣重構(gòu)方法，來(lái)對(duì)可擴(kuò)展多體量子技術(shù)中狀態(tài)準(zhǔn)備的基準(zhǔn)測(cè)試進(jìn)行描述。