層次分析法--可以幫助你做決策的簡單算法
作用
層次分析法是一個多指標的評價算法，主要用來在做決策時，給目標的多個影響因子做權重評分。特別是那些需要主觀決策的、或者需要用經驗判斷的決策方案，例如：
- 買房子（主觀決策）
- 選擇旅游地（主觀決策）
- 給員工進行績效評估（經驗判斷）
- 選擇開店地址（經驗判斷）
實現步驟
構建層次評價模型
一般可以分為三個層次：目標層、準則層和方案層。如圖，目標層：最優旅游地選擇；準則層：景色、費用、居住、飲食、旅途；方案層：西安、云南、西藏、青海。
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構造判斷矩陣
構造判斷矩陣就是將準則層各要素之間兩兩相互比較，確定各要素對目標層的重要程度（權重）。
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準則層A構建如下：
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準則層A各要素必須滿足如下條件：即各要素必須大于0；對角線必須等于1；對角線對稱的元素互為倒數。
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標度值的大小如圖所示方法進行配置
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層次單排序與一致性檢驗
層次單排序就是根據我們構成的判斷矩陣，求解各個指標的權重。
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計算權重有兩種方法：方根法、和法。
計算權重
方根法
1、通過計算每行乘積的m次方，得到m維向量。
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示例中的計算如圖
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2、將向量標準化，得到權重
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計算示例的權重如圖
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和法
1、先將矩陣的每列進行標準化
2、將標準化后的各元素按行求和
3、將求和結果進行標準化
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求解最大特征根λmax與CI值
以上，求得權重矩陣后，可以計算最大特征根，其公式為：
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其中n為維度數，例如構建的判斷矩陣為：景色、費用、居住、飲食、旅途時，n=5；
AW為：判斷矩陣*標準化后的權重，然后按按行的累加值。
即判斷矩陣A為：
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標準化后權重W為：
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其中A*W為：
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AW：
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λmax：
AW1/W1+AW2/W2+AW3/W3+···+AWn/Wn=x
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最大特征值λmax=x/矩陣階數=5.416
最大特征值λmax求解出來后，C.I值就好算多了，
根據C.I值公式，λmax=5.416，n=5，代入可得C.I值=0.1042
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求解CR值，判斷一致性
一致性校驗目的是確定構建的判斷矩陣是否有邏輯問題。例如，如果a相當于b為3，a相當于c為1/3，在判斷b相當于c時，理應c比b重要。
RI值通過查表可以得知，這個是模擬 1000 次得到的隨機一致性指標 R.I.：
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而我們的矩陣是5階（準則層因子個數），矩陣階數為5時對應的RI值為1.12，代入公式，可以得到C.R.值為 0.1042 / 1.12 = 0.093。
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所以 C.R.=0.093<0.1 時，表明判斷矩陣 A 的一致性程度被認為在容許的范圍內。如果C.R.≥0.1, 說明我們在構建判斷矩陣時出現了邏輯錯誤。
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層次總排序與一致性檢驗
層次總排序，其實就是通過類型層次單排序的方法來給方案打分。即上一步的層次單排序通過判斷矩陣計算出了景色、費用、居住、飲食和旅途的權重。現在如果想要知道目標地的權重，那就再構建一個判斷矩陣，利用層次單排序計算目標地點的權重，即目標方案的分數。
層次單排序是對一個目標下的多個影響因子，計算各個因子的權重，例如下圖中的Z和A1、A2、A3、A4和A5。或者將A1（景色）作為目標，B1、B2和B3作為影響因子，計算B1、B2和B3的權重，即蘇杭、北戴河和桂林對目標景色的重要性。
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具體做法是這樣的。根據上一步算出來的各個因素的權重，確定A1~A5的權重為
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現在我想計算方案B1蘇杭的權重，那么我們就要重復上個步驟的層次單排序的方法，首先構建一個判斷矩陣
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依此類推，上述步驟循環5次，就能得到蘇杭、北戴河、桂林在景色上的得分矩陣A1，在費用上的得分矩陣A2，在居住上的得分矩陣A3，在飲食上的得分矩陣A4，在旅途上的得分矩陣A5：
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以上的判斷矩陣全部需要做一致性校驗。
通過判斷矩陣再計算蘇杭、北戴河、桂林在景色、費用等因素上的權重。
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對于方案B1（蘇杭），它的總得分為：
蘇杭在景色上的得分*景色的權重+蘇杭在費用上的得分*費用的權重+蘇杭在居住上的得分*居住的權重+蘇杭在飲食上的得分*飲食的權重+蘇杭在旅途上的得分*旅途的權重=0.5954*0.3104+0.819*0.0591+0.4286*0.1157+0.6337*0.4716+0.1667*0.0432=0.5889
以此類推，方案B2（北戴河）為
0.2764*0.3104+0.2363*0.0591+0.4286*0.1157+0.1919*0.4716+0.1667*0.0432=0.2471
方案B3（桂林）：
0.1283*0.3104+0.6817*0.0591+0.1429*0.1157+0.1744*0.4716+0.6667*0.0432=0.2077
因此蘇杭得分最高，選擇去蘇杭。
總結
層次分析法的核心其實就是層次單排序。層次單排序是對一個目標下的多個影響因子，計算各個因子對于該目標的權重。利用層次單排序我們就能在一個樹型結構的層次評價模型里，由最上層的目標層層遞進向下，最終得到樹的葉子節點的權重，即我們想要得到的各個方案的權重。
當我們把一個樹模型上的所有節點的得分（可以理解為對上一層的權重）都計算出來之后，最終的方案的權重也就出來了。
