AI攻克費馬大定理？數學家放棄5年職業生涯，將100頁證明變代碼
費馬大定理，即將被AI攻克？
而且整件事最意味深長的地方在于，AI即將解決的費馬大定理，正是為了證明AI無用。
曾經，數學屬于純粹的人類智力王國；如今，這片疆土正被先進的算法所破譯，所踐踏。
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費馬大定理，是一個「臭名昭著」的謎題，在幾個世紀以來，一直困擾著數學家們。
它在1993年被證明，而現在，數學家們有一個偉大計劃：用計算機把證明過程重現。
他們希望在這個版本的證明中，如果有任何邏輯上的錯誤，都可由計算機檢查出來。
項目地址：https://github.com/riccardobrasca/flt3
3月底，數學家Pietro Monticone激動地表示，自己和同事幾乎在leanprover中完成了指數3的費馬大定理的形式化。
他們會盡快把形式化過程移植到Mathlib中，以便在FLT項目中使用。
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證明過程大致遵循Wiles的證明，但會略有改動。
用Lean把費馬大定理變成代碼
當四月到來時，數學家兼程序員Kevin Buzzard將發布這個計劃：通過計算機代碼，完成費馬大定理的證明。
項目在4月上線后，公開的藍圖就會出現在網上，屆時，Lean社區的任何人，都可以為形式化證明做出自己的貢獻。
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把一個開創性的100頁數學證明，變成計算機代碼，這個過程容易實現嗎？
這當然就要歸功于被陶哲軒大加贊賞、沉迷使用的證明工具Lean，它可以讓用戶把散文式的證明轉化為用于測試的規則和邏輯。
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但無論如何，這項工程都不簡單，預計將歷時多年，而Kevin Buzzard頁獲得了項目的資金支持。
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大家都明白，這個項目，很可能是迄今為止最復雜的計算機化方式證明之一。
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費馬大定理
費馬大定理，堪稱是史上最精彩的一個數學謎題。
而證明費馬大定理的過程，直接就是一部數學史。
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我們耳熟能詳的費馬大定理，由17世紀的法國數學家皮埃爾·德·費馬提出。遺憾的是，他未能在有生之年找到證明。
于是，這項起源于三百多年前的難題，直接挑戰了人類整整3個世紀，多次震驚全世界，耗盡人類眾多最杰出大腦的精力，也讓千千萬萬業余者癡迷。
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這個定理聲稱，不存在三個正整數a、b、c能滿足方程 (a^n + b^n = c^n)，其中n是任何大于2的整數。
這個證明的難點就在于，數學家很難找出一個否定案例：我們怎么能保證一定不存在這樣一個無窮大的整數n，能滿足這個方程式呢？
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幸好，對于今天的數學家來說，將無窮大的概念轉換成邏輯，并不是什么新鮮事了。
在較為簡單的證明中，我們可以依靠歸納法——
一旦某個邏輯對某個數字成立（比如8），那么它對于之后的每一個數（比如9、10、11等）都同樣成立，直到無限大。
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然而，費馬大定理卻是數學界百年來的一塊絆腳石。
直到1993年，英國數學家Andrew Wiles用一份長達100頁的書面證明，解開了這一謎團。
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計算機為什么無法證明費馬大定理？
業界認為原因有三：
1. 計算機無法推導出無窮種
2. 計算機無法證明邏輯正確
3. 計算機可能會出現轉瞬即逝的失誤
幸好有Lean輔助證明
一份100頁的數學證明，無論是對于普通的數學系學生，還是數學家，都不是那么好駕馭的。
好在，我們可以不再依賴傳統的證明方法，可以求助于Lean這樣的工具。
它是一款基于C++開發的編程工具，專為編寫和驗證歸納法證明而設計。
如今許多所謂的「人工智能」，不過是巧妙地排列模仿人類語言的文字。但Lean這類計算機輔助的證明，更深入地融合了人類的思維方式，和計算機輔助加強的能力。
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Lean編程工具，進入本科課堂
在倫敦帝國理工學院教數學的Kevin Buzzard，花費了數年時間，利用Lean為學院的整個本科數學課程開發了支持工具。
通過這些工具，學生們可以將課堂上討論的內容分解成邏輯和數學運算的步驟。
這就仿佛是一個數學證明上的羅塞塔石碑。
同為數學教師的Clarissa Littler，就非常贊同Kevin Buzzard的理念。
她在波特蘭社區學院教授離散數學。過去兩個學期里，她都在離散數學課上用Kevin Buzzard開發的「Lean經典入門游戲」。
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地址：https://adam.math.hhu.de/
她會用「自然數博弈」，幫學生熟悉數學歸納法的思想，通過「集合論博弈」，讓他們習慣于對集合進行推理。
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在這個過程中，學生們對「嚴格遵循邏輯規則編寫證明」，和「用通俗語言解釋事物真理」之間的理解差距，就會逐漸彌合。
Littler強調，課程的一大重點，就是讓數學基礎不太牢固的學生，更自如地用數學家的方式思考，同時更好地理解證明、證據和展示真理的方法。
這種從形式邏輯到規則列表，再到用散文表達的轉變，是將項目分解成互相協作的代碼片段的關鍵所在。
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而這一點，在編程和純數學的交叉領域尤為重要，也正是Lean這樣的工具能大放異彩的地方。
Buzzard表示，他希望將費馬大定理引發的復雜數學思想轉化為可編程的形式。
幾個世紀以來，為了證明這個在Buzzard看來「毫無實際意義」的定理，人們開創了許多極具價值的新數學分支。
是的，在Buzzard看來，費馬大定理毫無意義，在現實世界中沒有任何應用，不過因為這個「臭名昭著」的問題，幾個實際來人們產生了大量絕妙的新想法。
如今，將Wiles的100頁長的證明轉化為計算機能夠理解的形式語言和規則，有望為新一代數學家開啟計算機輔助證明的大門。
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而這種轉換工具，也能夠為編程人員提供幫助。
Littler表示，在這一領域，雄心勃勃的項目總是值得嘗試的，因為我們都能從學到的經驗和編寫的程序庫中獲益。
交互式的定理證明雖然還是一個較新的領域，但Lean社區已經做了許多優秀的工作。
Kevin Buzzard：Lean的布道者
1968年出生的Kevin Mark Buzzard，在算術幾何和Langlands程序方面有著深厚的專業造詣。
他目前是倫敦帝國學院的純數學教授，也是AI工具Lean的「布道者」。
在皇家文法學校讀書期間，Kevin Buzzard曾參加了國際數學奧林匹克競賽，并在1986年贏得銅牌，1987年以滿分拿下金牌。
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此后，他在劍橋大學的三一學院完成了數學本科學習，并于1990年獲得Senior Wrangler頭銜，于1991年獲得C.A.S.M.學位。
在Richard Taylor的指導下，他的博士論文「The levels of modular representations」于1995年完成，探討了數學中的一個復雜領域。
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1998年，他開始在倫敦帝國學院擔任講師，2002年晉升為高級講師，2004年被任命為教授。
他還曾在哈佛大學（2002年10月至12月）和其他幾所著名機構進行訪問研究。
因其在數論領域的突出貢獻，他在2002年獲得了懷特黑德獎，2008年獲得了Senior Berwick獎。
2017年，Buzzard發起了一個關于Lean定理證明器的項目和博客，致力于推動在數學研究中使用計算機輔助證明工具。
他還指導了音樂家Dan Snaith（藝名Caribou）完成了關于超收斂Siegel模符號研究的數學博士論文，Snaith因此從倫敦帝國學院獲得了博士學位。
2023年10月，Kevin Buzzard在社交媒體上稱，自己獲得了研究經費，開始用Lean去證明費馬大定理。
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Buzzard表示，「十年前，這需要花費無限多的時間」。為了完成這個項目，他將把自己的教學任務擱置五年。
擱置自己的任務，值得嗎？
在他的同行、英國諾丁漢大學Chris Williams看來，這種項目可能會產生意想不到的好處，和深遠的影響。
「我認為他不太可能在未來五年內正式形式化整個證明，否則就太驚人了。但是，現在的數論和算術幾何中，許多工具都無處不在，因此我預計，未來任何實質性的進展都將非常有用。」
對數學研究意義重大
這個項目還揭示了一個更深層次的價值。
隨著計算工具的不斷進步，數學的不同分支之間，甚至不同學科之間的界限，正變得越來越模糊，這就導致一些幾乎無法驗證的證明出現了。
比如，京都大學的日本數學家Mochizuki Shinichi編寫了一份長達500頁的證明，因為太過復雜，花費了數年時間才發表出來，部分原因就是，人們不知道該如何處理它。
從此，我們可能會發現，數學的邊界變得越來越模糊。
這不是指真實性或邏輯上的模糊，而是指一個證明中可以融合的不同思想的范圍。
Lean可以讓數學家們的思想轉化為代碼，這就讓同行更易于理解。看著前人記錄的先例，未來的數學家們可以在此基礎上繼續推進自己的研究。
Buzzard表示，用Lean進行數學寫作的特點就是，你可以留下精確陳述但未經證明的結果，而其他人就可以在之后解決它們。
Lean本身就促成了這樣一種工作流。
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換言之，費馬大定理正準備以「眾包」的方式來解決——特別是如果編碼工作超出了Buzzard剩余的工作年限。
完成一個數學證明需要整個社區的努力。
也許，在將來，我們能擁有一個類似Genius.com的平臺，用于分享和解讀數學證明。
參考資料：
