趙宇飛高材生、哥倫比亞大學助理教授Mehtaab Sawhney（索尼），又為數學界貢獻了一項重要成果——

與牛津大學教授Ben Green（格林）一起，證明了一項關于素數分布的新規律。

關鍵是證明中用到了與Gowers范數相關的技術，而Gowers范數一開始是拿來研究等差數列的，看上去和素數規律風馬牛不相及。

甚至作者索尼自己也表示，“作為一個‘局外人’，幾乎不可能判斷出這些事情是相關的”。

所以，這項研究不僅在素數領域是一項重要工作，也揭開了高爾斯范數的應用潛能。

多倫多大學教授John Friedlander評價說，索尼和格林的這項研究表明高爾斯范數可以作為新領域的強大工具。

最早和陶哲軒一同將素數和Gowers范數聯系到一起的數學家Tamar Ziegler（齊格勒），也對索尼和格林的研究給予了高度評價：

看到我前一段時間想到的東西有了意想不到的新應用，讓我覺得很有趣。

證明素數分布新規律

2018年，Friedlander和美國羅格斯大學的Iwaniec提出了“高斯素數猜想”（Gaussian primes conjecture）：

存在無窮多個素數p、q，使得p2+4q2也是素數。

（Friedlander和Iwaniec的合作可以追溯到上個世紀，1997年他們一同證明了a2+b?可以組成無數個素數）

格林和索尼不僅證明了這一猜想，還將其推廣到了更多的情況——

對于滿足n≡0或n≡4(mod 6)的正整數n，均存在無窮多個素數p和q使得p2+nq2也是素數。

同時，格林和索尼還為這些素數的數量給出了漸近公式：

其中∧(n)是von Mangoldt函數，用于檢測n是否為素數或素數的冪，N>1，W為權函數，κ_n是一個與n有關的常數：

顯然，滿足條件的素數數量不可能通過直接計算得到。

于是，格林和索尼選擇先將要證明的結論弱化，也就是先放寬一下約束條件——先將p和q的范圍放寬到“粗略素數”。

舉個例子，如果我們要找出1-200之間的“粗略素數”，可以找到與2、3、5、7這幾個小素數同時互素（最大公因數為1）的數，這些數字即為1-200之間的“粗略素數”。

（這些“粗略素數”當中，實際上不是素數的數，算上1也只有5個。）

格林和索尼證明，通過對兩個“粗略素數”進行平方并將它們相加，可以得到無限多個素數。

接下來，他們就需要證明使用“粗略素數”構建的集合，和使用真實素數構建的集合“足夠相似”。

其中就涉及了最關鍵的技術突破——Gowers范數的使用。

Gowers范數是一種測量函數“偽隨機性”的工具，2001年由數學家蒂莫西·高爾斯（Timothy Gowers）提出。

2018年，陶哲軒和塔瑪爾·齊格勒（Tamar Ziegler）找到了一種將高爾斯范數與“Type I和”與“Type II和”之間聯系起來的方法。

具體到這項研究，作者首先通過篩法將問題簡化為“Type I和”（左）與“Type II和”（右）的估計：

篩法的核心思想是，通過對這兩類和的估計，過濾掉不滿足素數條件的數，從而集中分析那些可能使p2+nq2為素數的數值。

其中，“Type I和”聚焦于單個變量的局部分布，幫助處理低階貢獻；“Type II和”則關注雙變量交互，處理高階分布。

進一步地，作者將問題轉化到二次虛數域Q(√(-n))，并利用數域中的理想分解、范數分布以及素理想的性質來研究目標數列的素數性。

具體來說，在整數環Z中，研究x2+ ny2是否為素數，等價于在Q(√(-n))中分析主理想x+y√(-n)是否為素理想。

接下來就輪到Gowers范數登場了。

為了控制“Type II和”，論文定義了函數f(x)和f’(y)，其中∧_Cramér(x) 是von Mangoldt函數的低復雜度近似：

作者通過引入連接定理和逆定理，使用Gowers范數分析f(x)和f’(y)的偽隨機性，從而證明了它們在大部分情況下對二次型x2+ ny2的貢獻是可控的。

也就是說，作者通過篩法和Gowers范數，證明了關鍵的中間結果——x, y的組合分布是均勻的。

最終的表達式中，主項來源于數域中范數N(x+ y√(-n))的分布，利用數域的素理想定理，可以得到主項。

“Type I和”與“Type II和”帶來的誤差項，分別可以通過篩法分析和Gowers范數的均勻性假設來控制。

兩者結合后，誤差項對主項的影響是次級的。

將主項和誤差項結合，最終得出目標公式：

結緣于Gowers范數

這項研究的兩位作者——格林和索尼，說起來也是頗有緣分。

格林是牛津大學數學教授、陶哲軒的長期合作者，同時還是英國皇家學會Fellow。

索尼一開始在賓夕法尼亞大學讀計算機，然后在2017年轉到MIT主修數學，成為了趙宇飛的學生，之后又在趙宇飛手下讀博，并于今年6月畢業。

今年初索尼成為了克萊研究員，現在索尼在哥倫比亞大學擔任教職。

讓兩人走到一起的，或許正是這次研究中用到的Gowers范數。

Gowers范數是1998年菲爾茲獎得主、英國數學家蒂莫西·高爾斯（Timothy Gowers）在證明塞邁雷迪定理時提出的。

塞邁雷迪定理與等差數列相關：

若一個整數集A具有正的自然密度，則對任意的正整數k，都可以在A中找出一個包含k項的等差數列。

所謂具有正自然密度，就是當n趨于無窮時，A與1,2,…,n這個數列的交集中元素個數與n的比值大于0。

到了2017年，陶哲軒和格林一起給出了k=4時的新上界。

2022年，正在陶哲軒那里讀研二的James Leng（小冷）開始研究起了高爾斯的理論，并引起了索尼和他的師弟Ashwin Sah（小薩）的注意。

最終，三人共同把這一結論推廣到了k為任意取值的情況，成為了23年以來在這個問題上最重大的突破。

與這次索尼和格林的研究一樣，三人在其中也使用了Gowers范數的逆定理，并且這項逆定理的發現者正是索尼、小冷和小薩。

順便提一句，打從本科起，索尼和小薩就是彼此的科研搭子，關系密切到索尼主頁列出的70篇論文里，有60篇都帶小薩的名字。

而導師趙宇飛在本科時對他倆的評價就是：

（MIT）的本科生研究有著悠久的歷史和傳統，但在論文的質量和數量上，都達不到Ashwin Sah和Mehtaab Sawhney的水平。

說回索尼本人，今年七月，索尼和格林終于在愛丁堡的一次會議上會面。

索尼說自己一直非常欣賞格林，并表示格林20年前證明的一項開創性成果正是讓他選擇這個主題的原因之一。

格林也對這位年輕的數學家印象深刻，稱索尼是一位杰出的數學家，并“以某種方式知道一切”。

于是，兩人決定合作，并將目光聚焦在了這次的“高斯素數猜想”。

到牛津訪問一周后，索尼和格林對其證明有了思路，并于今年10月份發布了論文預印本。

此后，兩人又繼續合作，提出并證明了Furstenberg-Sárk?zy定理的改進界限。

論文地址：https://arxiv.org/abs/2410.04189