四大頂刊之一的《數學年刊》，正式接收北大袁新意獨作論文。

在困擾數學界多年的Uniform Bogomolov猜想問題上取得重要進展。

值得一提的是，這篇論文還在預印版狀態時就已獲得一定引用，據稱還在不同的學術會議中被討論。

這一成果延續了袁新意在算術幾何和丟番圖幾何領域的成果，其中“將Uniform Bogomolov問題轉化為證明某個直線叢的算術大性”等創新方法，更是被評價為給相關領域的研究提供了全新的視角和工具。

統一算術與幾何的Bogomolov猜想

這篇論文旨在證明Uniform Bogomolov-type定理，這是一個關于代數曲線上有理點分布的問題。

數學界對這個問題的研究還要追溯到40多年前。

著名的算術Bogomolov猜想由Fedor Bogomolov在1980年提出，由Emmanuel Ullmo和張壽武在1998年證明。

進入21世紀，通過數域和函數域之間的類比，Walter Gubler和Kazuhiko Yamaki（山木壱彥）提出了幾何Bogomolov猜想

直到2021年，袁新意和謝俊逸合作，終于完全證明了幾何Bogomolov猜想的所有情形。

當時也正是這篇論文，讓低調回到北大的袁新意重回大眾視野。

既然幾何Bogomolov猜想已完全證明，那么現在這篇新論文又做出哪些突破呢？

將21年的結果推廣到算術情形，在數域和函數域給出了統一的處理方法。

總的來看,袁新意的這篇論文不僅解決了Uniform Bogomolov猜想這一重大問題，其中轉化問題的新思路更是為相關領域的研究提供了全新的視角和工具。

• 將Uniform Bogomolov問題轉化為證明某個直線叢的”算術大性”
• 通過阿貝爾-雅可比映射,把曲線上高度分布問題轉為Jacobian簇上的交點計數問題

這些方法借助了張壽武的“Admissible pairing”理論，作為張壽武的學生，袁新意與他在Adelic直線叢理論方面有深入合作。

2020年回北大任教至今

袁新意，祖籍湖北麻城，2000年參加國際數學奧林匹克競賽獲得金牌，之后進入北大數學系。

想必不少人對這個名字并不陌生，袁新意同劉若川、惲之瑋、宋詩暢、肖梁和許晨陽等人，正是大名鼎鼎的北大數學“黃金一代”。

△圖源：北大新聞網

2004年，這群要奔向世界各地探索數學進階之路的年輕人，在燕園留下了這樣一張意氣風發的合影。

彼時，袁新意已在哥倫比亞大學留學一年。袁新意剛好回來團聚，大家相約用一場長跑作為紀念，照片就拍攝在出發前。

他們從北大出發一路向南，跑過長安街，跑過天安門——而他們不同的數學攀高軌跡，也在這種別離紀念中，朝向大洋彼岸拉開序幕……

畢業后，袁新意前往哥倫比亞大學，師從華人數學家張壽武。

2008年在華人數學家張壽武的指導下拿到哥倫比亞大學博士學位。同年，袁新意成為第一個獲得美國克雷研究所研究獎的華人。

之后，袁新意曾在克雷數學研究所做博士后，擔任哥倫比亞大學數學系Ritt助理教授、普林斯頓大學數學系助理教授、加利福尼亞大學伯克利分校數學系助理教授。

而在2020年，袁新意決意回歸故土，加入母校北大，任北京國際數學研究中心教授至今。

△圖源：北大官網 袁新意2018年回北大訪問期間攝于未名湖畔

袁新意的研究主要集中在Arakelov幾何、代數動力學、丟番圖幾何、Shimura簇以及L函數的特殊值等領域，并在這些領域獲得了矚目的成就。

例如，他在哥倫比亞大學讀博期間，就與同為北大數院2000級的張偉展開了一系列研究。

袁新意、張偉，再加上惲之瑋、朱歆文，四人在圈內被并稱為“數學界四小天鵝”。張偉在2004年赴哥倫比亞大學，和袁新意一樣拜入張壽武門下。

張壽武曾對兩人說：“做完博士論文，我與你們的師生關系就結束了，你們不走，咱們就做個朋友，一起做做學問。”

兩人欣然應允，于是三位頂級數學家先是拿下了第一個合作成果：

與庫達拉猜想（Kudla Conjecture）中的模性（Modularity）問題有關，這是張偉博士論文的內容，三人一起深入挖掘了公式，將其推廣到了全實域。

又緊接著又是志村簇（Shimura varieties）上復乘點的高度，他們建立了Waldspurger公式在算術代數幾何下的一個模擬，遠遠走出了現有的Gross-Zagier公式。

最后的成果甚至從論文變成了一本書，以書的形式出版在《普林斯頓數學研究年刊》上。

在合作結束后的多年，張壽武還對這段經歷念念不忘：

袁新意是奧數冠軍隊成員，他的基本功沒人可比，如果他說一個結論是對的，就肯定是對的；張偉思想太活躍，有很多想法。有些是對的，有些不完全對，但很有發展的價值。

他們的性格完全不一樣，但在一起合作非常愉快，對我來說是千載難逢的機會：哪有這么好的年輕的學生做好論文后還不想走，在這里待下來？！”

除此之外，2021年袁新意還在曲線模空間上構建了算術典范線叢，并驗證了其正性，從而提供了一致莫德爾猜想的新的幾何化證明。

在對Bogomolov猜想的研究告一段落之后，算術幾何領域仍有諸多亟待攻克的難題，如ABC猜想、BSD猜想等。張壽武就曾透露，自己曾經最想解決的是ABC猜想。

期待數學家們能夠繼續合作，破解更多難題。

論文鏈接：https://arxiv.org/pdf/2108.05625