前幾天使用duckdb進行數據分析過程中，發現結果不一致，仔細翻閱Duckdb文檔中stddev_pop和stddev_samp、var_pop和var_samp 的描述和公式差異：

• stddev_pop(x)：總體標準差

• stddev_samp(x)：樣本標準差

• var_pop(x)：總體方差（無貝塞爾修正）

• var_samp(x)：樣本方差（包含貝塞爾修正）

為什么會有兩個標準差、兩個方差的定義，為啥一個除以n而另一個除以n-1;為何要貝塞爾修正（Bessel’s Correction）？

總體方差和樣本方差

在統計分析中，總體方差和樣本方差是衡量數據分散程度的重要指標。總體方差（The population variance）是描述整個數據集的離散程度，也就是說我們手上的數據集是整個數據集，它計算的是數據點與總體均值的差異程度。總體方差的公式如下：

其中 n 是數據集的數據點數量。在計算總體方差時，我們可以直接使用 n 作為除數，因為我們已經有了整個數據集的所有信息。

與此相對，樣本方差（The sample variance）是從總體中抽取的樣本數據的離散程度,也就是我們計算的數據集只是整體的一部分，通過手上的數據集來估計總體的方差，例如在產品質量分析過程，我們檢驗的產品可能只是所有產品的抽樣部分檢測。由于樣本數據僅是總體的一個子集，它不包含所有的信息，因此樣本方差往往會低估總體方差。為了彌補這一點，我們需要進行貝塞爾修正，將除數從 n 調整為 n?1，這樣可以更準確地估計總體方差。樣本方差的公式如下：

對于標準差，總體標準差（The population standard deviation）是總體方差的平方根，而樣本標準差（he sample standard deviation）則是樣本方差的平方根。標準差與方差的區別在于，標準差與原始數據的單位相同，更便于解釋。

貝塞爾修正

為什么在（貝塞爾修正）計算樣本方差時除以 n?1，我們需要分析使用樣本均值代替總體均值時會發生什么。在實際應用中，我們通常只能依賴樣本數據。其原理如下：

計算樣本方差時，我們會找到每個數據點與樣本均值的偏差，平方這些偏差，并計算它們的平均值。然而，樣本均值通常不等于總體均值，這導致使用樣本均值會低估總體的方差或分布。

以下是幾種可能的情況：

1. 樣本均值小于總體均值（xˉ<μ）時的情況

當樣本均值（xˉ）小于總體均值（μ）時，樣本中的大部分數據點離樣本均值更近，而不是離總體均值更近。結果是，數據點與均值之間的距離（偏差）變小，導致方差的計算偏小，即低估了實際的方差。因為我們只能從樣本中獲取數據，無法收集所有總體數據。在樣本數據中，接近總體均值的一部分數據的偏差（絕對值或平方差）會大于樣本均值的偏差，而接近樣本均值的部分數據偏差則更小。由于正態分布的對稱性，低估的區域大于高估的區域，因此方差會被低估。

為了補償方差的低估，使用 n?1代替 n 來計算方差，這就是貝塞爾修正（Bessel’s Correction）。

2. 樣本均值大于總體均值（xˉ>μ）時的情況

當樣本均值大于總體均值時，低值部分的數據點會比總體均值更接近樣本均值，依然導致方差的低估。同樣地，由于正態分布的對稱性，低估的區域依然大于高估的區域，因此我們通過將偏差除以 n?1 來修正這種低估，確保樣本方差是總體方差的無偏估計。

無論是樣本均值小于總體均值還是大于總體均值，都會導致方差的低估。通過貝塞爾修正（使用 n?1而非 n）可以補償這種低估，使得樣本方差更加接近總體方差，從而得到無偏的估計。

貝塞爾修正（Bessel’s Correction）的核心在于將樣本數據的方差除以 n?1，而不是 n，這種修正確保了我們在使用樣本數據來估算總體方差時，得到的是一個無偏估計。無偏估計的意思是，隨著樣本數量的增加，估算的樣本方差會逐漸趨近于總體方差。

貝塞爾修正（Bessel’s Correction）的好處在于，它修正了由于樣本均值比總體均值更接近樣本數據的現象，避免了方差估計的系統性偏差。舉個例子，如果我們直接使用樣本均值來計算樣本方差（除以 n），可能會低估樣本數據的離散程度，從而導致我們對總體方差的估計值偏小。通過貝塞爾修正，我們的樣本方差可以更好地反映總體方差的真實情況。

在計算樣本方差或標準差時，除以 n?1看似一個微小的變化，但它對于獲得總體方差的無偏估計至關重要。這個調整稱為貝塞爾修正，它補償了由于依賴樣本均值而非真實總體均值所導致的低估問題。