就在剛剛，南航、南通大學(xué)、牛津等機(jī)構(gòu)的研究者發(fā)現(xiàn)：通過(guò)高指令的推理指令，DeepSeek-R1有望解決數(shù)學(xué)上的NP-hard問(wèn)題！

論文地址：https://arxiv.org/abs/2502.20545

NP-hard問(wèn)題，是計(jì)算復(fù)雜性理論中的一類(lèi)問(wèn)題。它們至少和NP問(wèn)題一樣難，但不一定屬于NP類(lèi)別（即不一定中多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)被驗(yàn)證）。

本來(lái)，DeepSeek-R1、GPT-4o、OpenAI o1-mini這些模型，是做某種數(shù)學(xué)推理難題（SoS）是很困難的，正確率也就比純猜高一點(diǎn)。

但是，一旦給它們一些推理指導(dǎo)，所有的模型的推理能力立馬噌噌上漲，專(zhuān)業(yè)率最高提升了21%。

更令研究者們吃驚的是，Qwen2.5-14B-Instruct-1M在指導(dǎo)下，居然用了一個(gè)新奇精巧的方法，給出了一個(gè)此前從未見(jiàn)過(guò)的希爾伯特問(wèn)題的反例：

要知道，希爾伯特問(wèn)題的反例，可并非簡(jiǎn)單推導(dǎo)就能得出來(lái)的。

自1893年問(wèn)題被提出之后，首個(gè)反例的發(fā)現(xiàn)耗時(shí)長(zhǎng)達(dá)27年！

如今，卻被LLM短時(shí)間內(nèi)破解了。

研究者們大膽預(yù)言：照這個(gè)速度演進(jìn)，LLM離破解NP-hard問(wèn)題已經(jīng)很近了。

LLM能解決希爾伯特第十七問(wèn)題嗎？

如今，LLM在眾多任務(wù)上，表現(xiàn)已經(jīng)接近人類(lèi)水平，但它們?cè)趪?yán)謹(jǐn)數(shù)學(xué)問(wèn)題求解上的能力，仍是不小的挑戰(zhàn)。

這次，研究者決定給大模型們來(lái)一個(gè)硬核難題——判斷給定的多元多項(xiàng)式是否為非負(fù)的。

這個(gè)問(wèn)題，和希爾伯特第十七問(wèn)題密切相關(guān)。后者由數(shù)學(xué)家希爾伯特在1900年提出后，立馬成為23個(gè)經(jīng)典數(shù)學(xué)問(wèn)題之一。

而且，許多應(yīng)用數(shù)學(xué)和計(jì)算數(shù)學(xué)中的關(guān)鍵挑戰(zhàn)，都可以轉(zhuǎn)化為判斷某些多項(xiàng)式的非負(fù)性問(wèn)題，比如控制理論、量子計(jì)算、多項(xiàng)式博弈、張量方法、組合優(yōu)化等。

然而，判斷一般多項(xiàng)式是否非負(fù)，是一個(gè)公認(rèn)的NP-hard問(wèn)題！

即使對(duì)于相對(duì)低階或僅含少量變量的多項(xiàng)式，此問(wèn)題仍然極具挑戰(zhàn)性。

怎么辦？為此，研究者們只能去尋找多項(xiàng)式的特殊類(lèi)別，將復(fù)雜的非負(fù)性約束，替換成更簡(jiǎn)單一些的條件。

由此，平方和（SoS）條件就登場(chǎng)了。

作為一項(xiàng)數(shù)學(xué)技術(shù)，它通過(guò)將多項(xiàng)式表示為若干平方項(xiàng)的和，提供了一種充分但非必要的非負(fù)性判定方法。

所以，OpenAI o1和DeepSeek-R1，能解決SoS條件規(guī)劃問(wèn)題嗎？

用一個(gè)數(shù)據(jù)集，給LLM專(zhuān)業(yè)推理指導(dǎo)

為此，研究者構(gòu)建了SoS-1K數(shù)據(jù)集。

這個(gè)數(shù)據(jù)集經(jīng)過(guò)了精心策劃，包含約1,000個(gè)多項(xiàng)式，并配備了五個(gè)精心設(shè)計(jì)的專(zhuān)家級(jí)SoS專(zhuān)業(yè)推理指導(dǎo)。

具體包括：

• 多項(xiàng)式階數(shù)
• 主導(dǎo)搜索方向的非負(fù)性
• 特殊結(jié)構(gòu)的識(shí)別
• 平方形式表達(dá)的評(píng)估
• 單項(xiàng)式的二次形式矩陣分解

接下來(lái)，屬于SOTA模型們的考驗(yàn)來(lái)了！

DeepSeek-R1、DeepSeek-V3、GPT-4o、OpenAI o1-mini、Qwen2.5 系列和 QwQ-32B-Preview在內(nèi)的多位明星大模型，接受了數(shù)學(xué)難題的洗禮。

研究者們得出了一系列有趣的發(fā)現(xiàn)。

首先，如果未提供任何推理指導(dǎo)，所有的SOTA模型幾乎都無(wú)法解決SoS問(wèn)題。

它們的準(zhǔn)確率基本都在60%，僅僅略高于50%的隨機(jī)猜測(cè)基線。

不過(guò)，一旦使用高質(zhì)量的推理軌跡進(jìn)行提示，所有模型的準(zhǔn)確率就立馬有了顯著提升！

最高的提升了21%，而且推理質(zhì)量越高，模型表現(xiàn)就越好。

另外還有兩點(diǎn)發(fā)現(xiàn)：專(zhuān)注于推理的LLM通常優(yōu)于通用LLM，無(wú)論提示質(zhì)量如何。

參數(shù)較大的模型通常只用更少的推理步驟，就能正確預(yù)測(cè)，而小模型要達(dá)到最佳性能，就需要更多的推理過(guò)程了。

14B模型竟發(fā)現(xiàn)了此前未見(jiàn)的希爾伯特問(wèn)題反例

然后，研究者還進(jìn)一步證明，對(duì)一個(gè)預(yù)訓(xùn)練的7B模型在SoS1K數(shù)據(jù)集上進(jìn)行4小時(shí)的監(jiān)督微調(diào)后，僅使用2張A100 GPU，就能讓它準(zhǔn)確率從54%暴增至70%，響應(yīng)速度也大幅提高。

其中，SoS-7B僅需DeepSeek-V3和GPT-4o-mini計(jì)算時(shí)間的1.8%和5%。

也就是說(shuō)，這個(gè)7B模型超越了671B的DeepSeek-V3和GPT-4o-mini在內(nèi)的更大規(guī)模模型。

然后，驚人的結(jié)果來(lái)了——

當(dāng)模型被輸入高質(zhì)量的推理提示時(shí)，甚至在研究級(jí)問(wèn)題上做出了革命性的突破。

比如，Qwen2.5-14B-Instruct-1M就利用Motzkin多項(xiàng)式，生成了全新的、此前未見(jiàn)的希爾伯特第十七問(wèn)題的反例。

具體來(lái)說(shuō)，模型是如何發(fā)現(xiàn)這個(gè)反例的？

研究者展示了以下過(guò)程：通過(guò)SoS Reasoning提示，Qwen-14B-1M推導(dǎo)出了一個(gè)新的有效NNSoS示例：

模型構(gòu)建這個(gè)例子的方法，非常新奇有趣，令研究者贊嘆不已。

它從NNSoS的著名例子開(kāi)始，如：，然后，引入了一個(gè)新變量并稍微修改了系數(shù)，進(jìn)而生成了q_a。

這也就給了我們極大信心：按照如今LLM展現(xiàn)出的推理能力，或許有朝一日，它們真能破解NP-hard問(wèn)題。

值得一提的是，團(tuán)隊(duì)只用2張英偉達(dá)A100 GPU，耗時(shí)4小時(shí)就完成了對(duì)Qwen2.5-7B-Instruct-1M的微調(diào)。

由此得到的SoS-7B模型達(dá)到了70%的總體準(zhǔn)確率，超過(guò)了671B參數(shù)量的DeepSeek-V3（69%），同時(shí)響應(yīng)時(shí)間僅需1.8秒，而DeepSeek-V3則需要100秒。

SoS-1K Dataset

首先，研究者對(duì)SoS多項(xiàng)式做出了定義。

隨后，研究者們?yōu)長(zhǎng)LM精心設(shè)計(jì)了指令，從而提供了結(jié)構(gòu)化的分析框架，明確了約束條件，優(yōu)化了邏輯推理流程，讓它們顯著提高了解題能力。

為此，他們構(gòu)建了三種不同層次的的推理指令集。

1. 基礎(chǔ)SoS指令（SoS Plain）

直接向LLM提問(wèn)：「請(qǐng)分析該多項(xiàng)式是否可以表示為平方和（SoS）」？

2. 簡(jiǎn)化SoS指令（SoS Simple）

將SoS多項(xiàng)式劃分為五個(gè)不同類(lèi)別，每個(gè)類(lèi)別由簡(jiǎn)潔的一行標(biāo)準(zhǔn)定義。

3. 基于推理的完整SoS指令（SoS Reasoning）

這是一個(gè)結(jié)構(gòu)化的五步框架，用來(lái)系統(tǒng)化識(shí)別SoS多項(xiàng)式。

而就是這個(gè)SoS Reasoning，成為了LLM解決數(shù)學(xué)研究級(jí)問(wèn)題的基礎(chǔ)，讓它們的能力擴(kuò)展到更復(fù)雜的數(shù)學(xué)推理任務(wù)。

下面就是一個(gè)SoS Reasoning的示例。

• 步驟1. 檢查次數(shù)：SoS多項(xiàng)式的最高次數(shù)必須是偶數(shù)。
• 步驟2. 檢查非負(fù)性：SoS多項(xiàng)式對(duì)所有實(shí)數(shù)輸入都應(yīng)為非負(fù)值。
• 步驟3. 檢查已知特例：任何非負(fù)二次多項(xiàng)式以及任意一元或二元的非負(fù)四次多項(xiàng)式均為SoS。
• 步驟4. 檢查平方形式：根據(jù)定義2.1，SoS多項(xiàng)式可表示為：p_s(x) = ∑_i{q_i(x)2}。其中，每個(gè)q_i(x)均為多項(xiàng)式。
• 步驟5. 檢查矩陣分解：根據(jù)定理B.1，可以將多項(xiàng)式表示為：p(x) = y*?Qy*。其中，Q為對(duì)稱(chēng)矩陣。隨后，檢查Q是否為半正定矩陣。

SoS任務(wù)上的LLM評(píng)估

在SoS-1K數(shù)據(jù)集中，研究者隨機(jī)抽取了約340道測(cè)試題，涵蓋了所有測(cè)試子類(lèi)別。

參與評(píng)估的有專(zhuān)門(mén)的推理模型（如DeepSeek-R1、OpenAI o1-mini 和QwQ-32B-Preview），以及通用大模型（如DeepSeek-V3、GPT-4o 和Qwen2.5系列）。

結(jié)果如下。

模型對(duì)SoS和非負(fù)性的理解

有人可能會(huì)問(wèn)：

• 模型是只學(xué)會(huì)了分類(lèi)，還是真正發(fā)展出了「思考」和「構(gòu)建」新證明和示例的能力？
• 當(dāng)面對(duì)SoS或多項(xiàng)式優(yōu)化中的研究問(wèn)題時(shí)，模型能否生成具有數(shù)學(xué)意義的見(jiàn)解？

為了探索這一點(diǎn)，團(tuán)隊(duì)設(shè)計(jì)了一系列研究導(dǎo)向的問(wèn)題來(lái)測(cè)試模型理解SoS和非負(fù)性質(zhì)背后數(shù)學(xué)概念的能力。

比如，問(wèn)Qwen-7B-1M和Qwen14B-1M：你能提供一個(gè)文獻(xiàn)中從未出現(xiàn)過(guò)的新NNSoS嗎？

有趣的是，當(dāng)使用SoS Plain提示時(shí)，Qwen-14B-1M只能給出文獻(xiàn)中已知的例子，而Qwen-7B-1M返回了一個(gè)不正確的答案：

雖然回答錯(cuò)誤，但這個(gè)問(wèn)題挑戰(zhàn)性極大，即便像YALMIP這樣的經(jīng)典求解器也無(wú)法提取全局最優(yōu)性。

然而，當(dāng)使用SoS Reasoning提示向模型提出相同的研究問(wèn)題時(shí)，模型正確地識(shí)別出了pa不是問(wèn)題的有效解。

這一改進(jìn)源于SoS推理的第4步，其中模型認(rèn)識(shí)到p_a(x)是兩個(gè)變量的非負(fù)四次多項(xiàng)式，因此不可能是NNSoS。

進(jìn)一步分析

Q1：模型是否遵循真正的數(shù)學(xué)逐步驗(yàn)證過(guò)程？

結(jié)果顯示，LLM能夠按照SoS推理指令，一步一步生成邏輯和數(shù)學(xué)都正確的答案。

比如在下面這個(gè)例子中，o1-mini的回復(fù)不僅在邏輯上和數(shù)學(xué)上是正確的，而且一旦模型推導(dǎo)出答案就自然停止，而不是盲目地遍歷所有可能的步驟。

Q2：模型能否有效地從長(zhǎng)文本多項(xiàng)式中提取關(guān)鍵信息？

與標(biāo)準(zhǔn)文本輸入不同，多項(xiàng)式是由變量、系數(shù)、指數(shù)和項(xiàng)組成的復(fù)雜代數(shù)表達(dá)式。因此，對(duì)于LLM來(lái)說(shuō)，有效解釋和提取此類(lèi)結(jié)構(gòu)化格式中的關(guān)鍵信息至關(guān)重要。

分析表明，雖然QwQ-32B-Preview在處理超過(guò)4K token長(zhǎng)度的問(wèn)題時(shí)會(huì)遇到困難，但大多數(shù)SOTA的模型都能夠成功地從4K長(zhǎng)度的多項(xiàng)式中提取必要的系數(shù)進(jìn)行評(píng)估，并生成正確的答案。

Q3：在SoS推理的第1步到第5步中，哪一步的準(zhǔn)確率有所提高？

圖2展示了o1-mini模型在基礎(chǔ)SoS（SoS Plain）、簡(jiǎn)化SoS（SoS Simple）和完整SoS推理（SoS Reasoning）下不同測(cè)試集的準(zhǔn)確率提升情況。

結(jié)果顯示，最簡(jiǎn)單的Test Set 1（對(duì)應(yīng)步驟1）在所有提示方法下，都毫無(wú)意外地達(dá)到了100%的準(zhǔn)確率。

得益于步驟2和步驟5，對(duì)于更具挑戰(zhàn)性的Test Sets 2a、3.1a、5.1a–5.4a，從基礎(chǔ)SoS到簡(jiǎn)化SoS再到完整SoS推理，也都有持續(xù)的改進(jìn)。

因?yàn)椋@些步驟引入了一系列用于非負(fù)性驗(yàn)證的數(shù)學(xué)方法，包括常數(shù)系數(shù)檢查、網(wǎng)格求值、首項(xiàng)和主導(dǎo)項(xiàng)比較、尋找最小值、矩陣分解以及尋找對(duì)稱(chēng)性和平移。

Q4：模型在推理過(guò)程中會(huì)「偷懶」嗎？

是的，在SoS推理提示下觀察到的另一個(gè)有趣現(xiàn)象是，模型在執(zhí)行第5步時(shí)往往會(huì)「走捷徑」。

具體而言，它通常會(huì)避免完全執(zhí)行第5步中的矩陣分解或半正定規(guī)劃（SDP）等復(fù)雜操作，而是基于前面步驟的結(jié)果推測(cè)答案。這種行為在處理長(zhǎng)輸入和復(fù)雜多項(xiàng)式時(shí)尤為普遍。

對(duì)于較簡(jiǎn)單的問(wèn)題，推理模型如o1-mini（運(yùn)行時(shí)間最短，為17秒）和較大的模型如QwQ-32B-Preview往往會(huì)采取捷徑，跳過(guò)第5步，從前面更簡(jiǎn)單的步驟中推斷答案。

而DeepSeek-V3則不會(huì)走捷徑，而是花費(fèi)明顯更多的時(shí)間（40秒）正確地解決所有步驟。

Q5：推理長(zhǎng)度如何影響準(zhǔn)確性？

如圖3所示，更高性能的模型通常需要更少的思考所需token數(shù)量來(lái)做出正確預(yù)測(cè)，而性能較低的模型需要更多的推理步驟才行。

例如，DeepSeek-R1和o1-mini在1K-2K的輸出長(zhǎng)度下，就達(dá)到最高的正確預(yù)測(cè)數(shù)量；而Qwen2.5系列需要3K-4K個(gè)token才能產(chǎn)生正確答案。

Q6：當(dāng)前的SOTA模型有什么局限性？

首先，對(duì)于長(zhǎng)輸入情況，會(huì)出現(xiàn)無(wú)效樣本。例如，在DeepSeek-R1中，340個(gè)樣本中只有234個(gè)是有效的。

其次，在處理復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，「走捷徑」雖然會(huì)節(jié)省時(shí)間，但在困難步驟時(shí)過(guò)早停止并猜測(cè)答案，會(huì)對(duì)準(zhǔn)確性產(chǎn)生負(fù)面影響。

第三，雖然這些模型在處理小型多項(xiàng)式時(shí)表現(xiàn)出色（準(zhǔn)確率接近90%），但在多項(xiàng)式的二次型涉及低秩矩陣分解時(shí)，表現(xiàn)不佳。