在生活的舞臺上，我們常常被各種充滿不確定性的事件所困擾。

天氣預報說有 70% 的概率下雨，我們該不該帶傘？

投資一只股票，它上漲的概率有多大？

去醫院體檢，檢查結果顯示異常，這是否意味著我們真的患病了？

這些問題背后，都隱藏著概率的影子。

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然而，很多時候，我們面對的并非簡單的概率問題，而是復雜的、涉及多個因素相互影響的情況。

如何在這些復雜情境中準確地計算概率，做出合理的判斷呢？

今天，就讓我們一起探索概率論中的兩把神奇的鑰匙——全概率公式和貝葉斯公式。

一、全概率公式

所謂互斥，就是說這些事件之間沒有重疊，就像你不能同時在兩個不同的地方一樣；完備則是說這些事件涵蓋了所有可能的情況，沒有遺漏。

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可能有點抽象，讓我們來聽一個更有趣的故事。

在一個抽獎活動中，假設你參加一個抽獎活動，有三個箱子：紅色箱子（100張獎券，10張一等獎）、藍色箱子（200張獎券，20張一等獎）和綠色箱子（300張獎券，30張一等獎）。

如果你隨機選擇一個箱子抽獎，抽到一等獎的概率是多少？

• 選擇每個箱子的概率為1/3。
• 紅色箱子抽到一等獎的概率：(1/3) × (10/100) = 1/30。
• 藍色箱子抽到一等獎的概率：(1/3) × (20/200) = 1/30。
• 綠色箱子抽到一等獎的概率：(1/3) × (30/300) = 1/30。
• 總概率：1/30 + 1/30 + 1/30 = 1/10（即10%）。

全概率公式通過將問題分解為多個簡單事件，輕松解決了看似復雜的抽獎問題。

全概率公式不僅適用于抽獎，還能在金融、工程等眾多領域發揮重要作用，幫助我們清晰地分析復雜問題。

二、貝葉斯公式

全概率公式讓我們能夠從原因推導出結果的概率，但有時候，我們更想知道的是，當結果已經發生時，某個原因的概率是多少。

這時候，貝葉斯公式就派上用場了。貝葉斯公式的數學表達式是

別被這個公式嚇倒，我們來慢慢解讀。這個公式的核心在于，當我們已知事件  發生的情況下，想要計算導致  發生的某個具體原因  的概率。

它利用了全概率公式的結果，通過條件概率的轉換，實現了從“已知原因求結果”到“已知結果求原因”的逆轉。

讓我們來看看貝葉斯公式在實際問題中的強大威力。在醫學檢測中，有一種疾病的檢測方法，準確率很高，但仍然存在一定的假陽性率。

假設這種疾病的患病率為1%，檢測方法的準確率為99%（即患病者檢測為陽性的概率為99%），假陽性率為5%（即未患病者檢測為陽性的概率為5%）。

若某人檢測結果為陽性，他真正患病的概率是多少？

• 患病概率：1%。
• 未患病概率：99%。
• 陽性結果的總概率：1% × 99%（患病且陽性）+ 99% × 5%（未患病但陽性）= 0.99% + 4.95% = 5.94%。
• 真正患病的概率：(1%×99%)/5.94%≈16.7%。

即使檢測結果為陽性，真正患病的概率也只有約16.7%。貝葉斯公式幫助我們避免了僅憑檢測結果的直觀判斷，給出了更準確的結論。

貝葉斯公式在醫學、機器學習和生產制造等領域都具有強大的應用價值，能夠幫助我們從已知條件中推斷出更準確的結論。

三、聯系與區別

全概率公式和貝葉斯公式雖然看起來不同，但它們之間有著緊密的聯系。

從公式上來說，貝葉斯公式是在全概率公式的基礎上推導出來的。

全概率公式為我們提供了計算事件  發生總概率的方法，而貝葉斯公式則是利用這個總概率，進一步計算在  發生的情況下某個原因的概率。

從思想上來說，它們都體現了把復雜問題分解為多個簡單部分進行分析的思想。

全概率公式把一個復雜事件的概率分解為多個互斥事件的概率組合，貝葉斯公式則是在此基礎上，利用已知的條件概率和先驗概率，更新和推斷未知的概率。

盡管它們有聯系，但全概率公式和貝葉斯公式也有明顯的區別。

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在應用場景上，全概率公式主要用于“已知原因求結果”，而貝葉斯公式則用于“已知結果求原因”。

在計算過程上，全概率公式相對簡單，主要是通過加權求和來計算總概率；而貝葉斯公式則涉及到條件概率的轉換和分母的計算，相對復雜一些，但它能夠提供更深入的概率推斷。

結 語 

全概率公式和貝葉斯公式，這兩個概率論中的重要公式，就像兩把神奇的鑰匙，幫助我們解鎖了復雜概率問題的大門。它們在數學上有著緊密的聯系，在實際應用中也各有千秋。

通過今天的學習，我們不僅了解了它們的基本概念和形式，還通過有趣的故事和案例，看到了它們在解決實際問題時的強大威力。