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決策樹

引言

決策樹，是機器學習中一種非常常見的分類方法，也可以說是所有算法中最直觀也最好理解的算法。先舉個最簡單的例子：

A：你去不去吃飯?

B：你去我就去。

“你去我就去”，這是典型的決策樹思想。

再舉個例子：

有人找我借錢(當然不太可能。。。)，借還是不借?我會結合根據我自己有沒有錢、我自己用不用錢、對方信用好不好這三個特征來決定我的答案。

我們把轉到更普遍一點的視角，對于一些有特征的數據，如果我們能夠有這么一顆決策樹，我們也就能非常容易地預測樣本的結論。所以問題就轉換成怎么求一顆合適的決策樹，也就是怎么對這些特征進行排序。

在對特征排序前先設想一下，對某一個特征進行決策時，我們肯定希望分類后樣本的純度越高越好，也就是說分支結點的樣本盡可能屬于同一類別。

所以在選擇根節點的時候，我們應該選擇能夠使得“分支結點純度最高”的那個特征。在處理完根節點后，對于其分支節點，繼續套用根節點的思想不斷遞歸，這樣就能形成一顆樹。這其實也是貪心算法的基本思想。那怎么量化“純度最高”呢?熵就當仁不讓了，它是我們最常用的度量純度的指標。其數學表達式如下：

其中N表示結論有多少種可能取值，p表示在取第k個值的時候發生的概率，對于樣本而言就是發生的頻率/總個數。

熵越小，說明樣本越純。

以一個兩點分布樣本X(x=0或1)的熵的函數圖像來說明吧，橫坐標表示樣本值為1的概率，縱坐標表示熵。

可以看到到當p(x=1)=0時，也就是說所有的樣本都為0，此時熵為0.

當p(x=1)=1時，也就是說所有的樣本都為1，熵也為0.

當p(x=1)=0.5時，也就是樣本中0，1各占一半，此時熵能取得最大值。

擴展一下，樣本X可能取值為n種(x1。。。。xn)。可以證明，當p(xi)都等于1/n 時，也就是樣本絕對均勻，熵能達到最大。當p(xi)有一個為1，其他都為0時，也就是樣本取值都是xi，熵最小。

決策樹算法

ID3

假設在樣本集X中，對于一個特征a，它可能有(a1，a2。。。an)這些取值，如果用特征a對樣本集X進行劃分(把它當根節點)，肯定會有n個分支結點。剛才提了，我們希望劃分后，分支結點的樣本越純越好，也就是分支結點的“總熵”越小越好。

因為每個分支結點的個數不一樣，因此我們計算“總熵”時應該做一個加權，假設第i個結點樣本個數為W(ai)，其在所有樣本中的權值為W(ai) / W(X)。所以我們可以得到一個總熵：

這個公式代表含義一句話：加權后各個結點的熵的總和。這個值應該越小，純度越高。

這時候，我們引入一個名詞叫信息增益G(X，a)，意思就是a這個特征給樣本帶來的信息的提升。公式就是：，由于H(X)對一個樣本而言，是一個固定值，因此信息增益G應該越大越好。尋找使得信息增益最大的特征作為目標結點，并逐步遞歸構建樹，這就是ID3算法的思想，好了以一個簡單的例子來說明信息增益的計算：

上面的例子，我計算一下特征1的信息增益

首先計算樣本的熵H(X)

再計算總熵，可以看到特征1有3個結點A、B、C，其分別為6個、6個、5個

所以A的權值為6/(6+6+5), B的權值為6/(6+6+5), C的為5/(6+6+5)

因為我們希望劃分后結點的純度越高越好，因此還需要再分別計算結點A、B、C的熵

特征1=A：3個是、3個否，其熵為

特征1=B：2個是、4個否，其熵為

特征1=C：4個是、1個否，其熵為

這樣分支結點的總熵就等于：

特征1的信息增益就等于0.998-0.889=0.109

類似地，我們也能算出其他的特征的信息增益，最終取信息增益最大的特征作為根節點。

以上計算也可以有經驗條件熵來推導：G(X,A)=H(X) - H(X|A)，這部分有興趣的同學可以了解一下。

C4.5

在ID3算法中其實有個很明顯的問題。

如果有一個樣本集，它有一個叫id或者姓名之類的(唯一的)的特征，那就完蛋了。設想一下，如果有n個樣本，id這個特征肯定會把這個樣本也分成n份，也就是有n個結點，每個結點只有一個值，那每個結點的熵就為0。就是說所有分支結點的總熵為0，那么這個特征的信息增益一定會達到最大值。因此如果此時用ID3作為決策樹算法，根節點必然是id這個特征。但是顯然這是不合理的。。。

當然上面說的是極限情況，一般情況下，如果一個特征對樣本劃分的過于稀疏，這個也是不合理的(換句話就是，偏向更多取值的特征)。為了解決這個問題，C4.5算法采用了信息增益率來作為特征選取標準。

所謂信息增益率，是在信息增益基礎上，除了一項split information,來懲罰值更多的屬性。

而這個split information其實就是特征個數的熵H(A)。

為什么這樣可以減少呢，以上面id的例子來理解一下。如果id把n個樣本分成了n份，那id這個特征的取值的概率都是1/n，文章引言已經說了，樣本絕對均勻的時候，熵最大。

因此這種情況，以id為特征，雖然信息增益最大，但是懲罰因子split information也最大，以此來拉低其增益率，這就是C4.5的思想。

CART

決策樹的目的最終還是尋找到區分樣本的純度的量化標準。在CART決策樹中，采用的是基尼指數來作為其衡量標準。基尼系數直觀的理解是，從集合中隨機抽取兩個樣本，如果樣本集合越純，取到不同樣本的概率越小。這個概率反應的就是基尼系數。

因此如果一個樣本有K個分類。假設樣本的某一個特征a有n個取值的話，其某一個結點取到不同樣本的概率為：

因此k個分類的概率總和，我們稱之為基尼系數：

而基尼指數，則是對所有結點的基尼系數進行加權處理

計算出來后，我們會選擇基尼系數最小的那個特征作為最優劃分特征。

剪枝

剪枝的目的其實就是防止過擬合，它是決策樹防止過擬合的最主要手段。決策樹中，為了盡可能爭取的分類訓練樣本，所以我們的決策樹也會一直生長。但是呢，有時候訓練樣本可能會學的太好，以至于把某些樣本的特有屬性當成一般屬性。這時候就我們就需要主動去除一些分支，來降低過擬合的風險。

剪枝一般有兩種方式：預剪枝和后剪枝。

預剪枝

一般情況下，只要結點樣本已經100%純了，樹才會停止生長。但這個可能會產生過擬合，因此我們沒有必要讓它100%生長，所以在這之前，設定一些終止條件來提前終止它。這就叫預剪枝，這個過程發生在決策樹生成之前。

一般我們預剪枝的手段有：

1、限定樹的深度

2、節點的子節點數目小于閾值

3、設定結點熵的閾值

等等。

后剪枝

顧名思義，這個剪枝是在決策樹建立過程后。后剪枝算法的算法很多，有些也挺深奧，這里提一個簡單的算法的思想，就不深究啦。

Reduced-Error Pruning (REP)

該剪枝方法考慮將樹上的每個節點都作為修剪的候選對象，但是有一些條件決定是否修剪，通常有這幾步：

1、刪除其所有的子樹，使其成為葉節點。

2、賦予該節點最關聯的分類

3、用驗證數據驗證其準確度與處理前比較

如果不比原來差，則真正刪除其子樹。然后反復從下往上對結點處理。這個處理方式其實是處理掉那些“有害”的節點。

隨機森林

隨機森林的理論其實和決策樹本身不應該牽扯在一起，決策樹只能作為其思想的一種算法。

為什么要引入隨機森林呢。我們知道，同一批數據，我們只能產生一顆決策樹，這個變化就比較單一了。還有要用多個算法的結合呢?

這就有了集成學習的概念。

圖中可以看到，每個個體學習器(弱學習器)都可包含一種算法，算法可以相同也可以不同。如果相同，我們把它叫做同質集成，反之則為異質。

隨機森林則是集成學習采用基于bagging策略的一個特例。

從上圖可以看出，bagging的個體學習器的訓練集是通過隨機采樣得到的。通過n次的隨機采樣，我們就可以得到n個樣本集。對于這n個樣本集，我們可以分別獨立的訓練出n個個體學習器，再對這n個個體學習器通過集合策略來得到最終的輸出，這n個個體學習器之間是相互獨立的，可以并行。

注：集成學習還有另一種方式叫boosting，這種方式學習器之間存在強關聯，有興趣的可以了解下。

隨機森林采用的采樣方法一般是是Bootstap sampling，對于原始樣本集，我們每次先隨機采集一個樣本放入采樣集，然后放回，也就是說下次采樣時該樣本仍有可能被采集到，經過一定數量的采樣后得到一個樣本集。由于是隨機采樣，這樣每次的采樣集是和原始樣本集不同的，和其他采樣集也是不同的，這樣得到的個體學習器也是不同的。

隨機森林最主要的問題是有了n個結果，怎么設定結合策略，主要方式也有這么幾種：

加權平均法：

平均法常用于回歸。做法就是，先對每個學習器都有一個事先設定的權值wi，

然后最終的輸出就是：

當學習器的權值都為1/n時，這個平均法叫簡單平均法。

投票法：

投票法類似我們生活中的投票，如果每個學習器的權值都是一樣的。

那么有絕對投票法，也就是票數過半。相對投票法，少數服從多數。

如果有加權，依然是少數服從多數，只不過這里面的數是加權后的。

例子

以一個簡單的二次函數的代碼來看看決策樹怎么用吧。

訓練數據是100個隨機的真實的平方數據，不同的深度將會得到不同的曲線

測試數據也是隨機數據，但是不同深度的樹的模型，產生的預測值也不太一樣。如圖

這幅圖的代碼如下：

我的是python 3.6環境，需要安裝numpy、matplotlib、sklearn這三個庫，需要的話直接pip install，大家可以跑跑看看，雖然簡單但挺有趣。

#!/usr/bin/python 
# -*- coding:utf-8 -*- 
 
import numpy as np 
import matplotlib as mpl 
import matplotlib.pyplot as plt 
from sklearn.tree import DecisionTreeRegressor 
 
 
if __name__ == "__main__": 
 
    # 準備訓練數據 
    N = 100 
    x = np.random.rand(N) * 6 - 3 
    x.sort() 
    y = x*x 
    x = x.reshape(-1, 1) 
 
    mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] 
    mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False 
 
    # 決策樹深度及其曲線顏色 
    depth = [2, 4, 6, 8, 10] 
    clr = 'rgbmy' 
 
    # 實際值 
    plt.figure(facecolor='w') 
    plt.plot(x, y, 'ro', ms=5, mec='k', label='實際值') 
 
    # 準備測試數據 
    x_test = np.linspace(-3, 3, 50).reshape(-1, 1) 
 
    # 構建決策樹 
    dtr = DecisionTreeRegressor() 
    # 循環不同深度情況下決策樹的模型，并用之測試數據的輸出 
    for d, c in zip(depth, clr): 
        # 設置最大深度（預剪枝） 
        dtr.set_params(max_depth=d) 
        # 訓練決策樹 
        dtr.fit(x, y) 
        # 用訓練數據得到的模型來驗證測試數據 
        y_hat = dtr.predict(x_test) 
        # 畫出模型得到的曲線 
        plt.plot(x_test, y_hat, '-', color=c, linewidth=2, markeredgecolor='k', label='Depth=%d' % d) 
    # 一些畫圖的基本參數 
    plt.legend(loc='upper center', fontsize=12) 
    plt.xlabel('X') 
    plt.ylabel('Y') 
    plt.grid(b=True, ls=':', color='#606060') 
    plt.title('二次函數決策樹', fontsize=15) 
    plt.tight_layout(2) 
    plt.show() 

原文鏈接：https://www.qcloud.com/community/article/160232

作者：汪毅雄

【本文是51CTO專欄作者“騰訊云技術社區”的原創稿件，轉載請通過51CTO聯系原作者獲取授權】

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