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一、是什么

堆(Heap)是計算機科學中一類特殊的數據結構的統稱

堆通常是一個可以被看做一棵完全二叉樹的數組對象，如下圖：

總是滿足下列性質：

• 堆中某個結點的值總是不大于或不小于其父結點的值
• 堆總是一棵完全二叉樹

堆又可以分成最大堆和最小堆：

• 最大堆：每個根結點，都有根結點的值大于兩個孩子結點的值
• 最小堆：每個根結點，都有根結點的值小于孩子結點的值

二、操作

堆的元素存儲方式，按照完全二叉樹的順序存儲方式存儲在一個一維數組中，如下圖：

用一維數組存儲則如下：

[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8] 

根據完全二叉樹的特性，可以得到如下特性：

• 數組零坐標代碼的是堆頂元素
• 一個節點的父親節點的坐標等于其坐標除以2整數部分
• 一個節點的左節點等于其本身節點坐標 * 2 + 1
• 一個節點的右節點等于其本身節點坐標 * 2 + 2

根據上述堆的特性，下面構建最小堆的構造函數和對應的屬性方法：

class MinHeap { 
  constructor() { 
    // 存儲堆元素 
    this.heap = [] 
  } 
  // 獲取父元素坐標 
  getParentIndex(i) { 
    return (i - 1) >> 1 
  } 
   
  // 獲取左節點元素坐標 
  getLeftIndex(i) { 
    return i * 2 + 1 
  } 
   
 // 獲取右節點元素坐標 
  getRightIndex(i) { 
    return i * 2 + 2 
  } 
   
  // 交換元素 
  swap(i1, i2) { 
    const temp = this.heap[i1] 
    this.heap[i1] = this.heap[i2] 
    this.heap[i2] = temp 
  } 
   
  // 查看堆頂元素 
  peek() { 
    return this.heap[0] 
  } 
   
  // 獲取堆元素的大小 
  size() { 
    return this.heap.length 
  } 
} 

涉及到堆的操作有：

• 插入
• 刪除

插入

將值插入堆的底部，即數組的尾部，當插入一個新的元素之后，堆的結構就會被破壞，因此需要堆中一個元素做上移操作

將這個值和它父節點進行交換，直到父節點小于等于這個插入的值，大小為k的堆中插入元素的時間復雜度為O(logk)

如下圖所示，22節點是新插入的元素，然后進行上移操作：

相關代碼如下：

// 插入元素 
insert(value) { 
  this.heap.push(value) 
  this.shifUp(this.heap.length - 1) 
} 
 
// 上移操作 
shiftUp(index) { 
  if (index === 0) { return } 
  const parentIndex = this.getParentIndex(index) 
  if(this.heap[parentIndex] > this.heap[index]){ 
    this.swap(parentIndex, index) 
    this.shiftUp(parentIndex) 
  } 
} 

刪除

常見操作是用數組尾部元素替換堆頂，這里不直接刪除堆頂，因為所有的元素會向前移動一位，會破壞了堆的結構

然后進行下移操作，將新的堆頂和它的子節點進行交換，直到子節點大于等于這個新的堆頂，刪除堆頂的時間復雜度為O(logk)

整體如下圖操作：

相關代碼如下：

// 刪除元素 
pop() { 
  this.heap[0] = this.heap.pop() 
  this.shiftDown(0) 
} 
 
// 下移操作 
shiftDown(index) { 
  const leftIndex = this.getLeftIndex(index) 
  const rightIndex = this.getRightIndex(index) 
  if (this.heap[leftIndex] < this.heap[index]){ 
    this.swap(leftIndex, index) 
    this.shiftDown(leftIndex) 
  } 
  if (this.heap[rightIndex] < this.heap[index]){ 
    this.swap(rightIndex, index) 
    this.shiftDown(rightIndex) 
  } 
} 

時間復雜度

關于堆的插入和刪除時間復雜度都是Olog(n)，原因在于包含n個節點的完全二叉樹，樹的高度不會超過log2n

堆化的過程是順著節點所在路徑比較交換的，所以堆化的時間復雜度跟樹的高度成正比，也就是Olog(n)，插入數據和刪除堆頂元素的主要邏輯就是堆化

三、總結

堆是一個完全二叉樹

堆中每一個節點的值都必須大于等于(或小于等于)其子樹中每個節點的值

對于每個節點的值都大于等于子樹中每個節點值的堆，叫作“大頂堆”

對于每個節點的值都小于等于子樹中每個節點值的堆，叫作“小頂堆”

根據堆的特性，我們可以使用堆來進行排序操作，也可以使用其來求第幾大或者第幾小的值

參考文獻

https://baike.baidu.com/item/%E5%A0%86/20606834

https://xlbpowder.cn/2021/02/26/%E5%A0%86%E5%92%8C%E5%A0%86%E6%8E%92%E5%BA%8F/