基于參數化量子電路的機器學習算法是近期在嘈雜的量子計算機上應用的主要候選者。在這個方向上，已經引入和廣泛研究了各種類型的量子機器學習模型。然而，我們對這些模型如何相互比較以及與經典模型進行比較的理解仍然有限。

近日，來自奧地利因斯布魯克大學的研究團隊確定了一個建設性框架，該框架捕獲所有基于參數化量子電路的標準模型：線性量子模型。

研究人員展示了使用量子信息論中的工具如何將數據重新上傳電路有效地映射到量子希爾伯特空間中線性模型的更簡單圖像中。此外，根據量子比特數和需要學習的數據量來分析這些模型的實驗相關資源需求。基于經典機器學習的最新結果，證明線性量子模型必須使用比數據重新上傳模型多得多的量子比特才能解決某些學習任務，而核方法還需要多得多的數據點。研究結果提供了對量子機器學習模型的更全面的了解，以及對不同模型與 NISQ 約束的兼容性的見解。

該研究以「Quantum machine learning beyond kernel methods」為題，于 2023 年 1 月 31 日發布在《Nature Communications》上。

論文鏈接：https://www.nature.com/articles/s41467-023-36159-y?

在當前嘈雜的中級量子 (NISQ) 時代，已經提出了一些方法來構建與輕微的硬件限制兼容的有用量子算法。大多數這些方法都涉及量子電路 Ansatz 的規范，以經典方式優化以解決特定的計算任務。除了化學中的變分量子特征求解器和量子近似優化算法的變體之外，基于這種參數化量子電路的機器學習方法是產生量子優勢的最有希望的實際應用之一。

核方法（kernel methods）是一類模式識別的算法。其目的是找出并學習一組數據中的相互的關系。核方法是解決非線性模式分析問題的一種有效途徑，其核心思想是：首先，通過某種非線性映射將原始數據嵌入到合適的高維特征空間；然后，利用通用的線性學習器在這個新的空間中分析和處理模式。

以前的工作通過利用一些量子模型和經典機器學習的核方法之間的聯系，在這個方向上取得了長足的進步。許多量子模型確實是通過在高維希爾伯特空間中編碼數據，并僅使用在此特征空間中評估的內積來對數據的屬性進行建模來運行。這也是核方法的工作原理。

基于這種相似性，給定的量子編碼可用于定義兩種類型的模型：(a) 顯式量子模型，其中編碼數據點根據指定其標簽的變分可觀測值進行測量；或 (b) 隱式核模型，其中編碼數據點的加權內積用于分配標簽。在量子機器學習文獻中，很多重點都放在隱式模型上。

圖 1：這項工作中研究的量子機器學習模型。（來源：論文）

最近，所謂的數據重新上傳（data re-uploading）模型取得了進展。數據重新上傳模型可以看作是顯式模型的推廣。然而，這種概括也打破了與隱式模型的對應關系，因為給定的數據點 x 不再對應于固定的編碼點 ρ(x)。數據重新上傳模型比顯式模型嚴格更通用，并且它們與內核模型范例不兼容。到目前為止，在核方法的保證下，是否可以從數據重新上傳模型中獲得一些優勢仍然是一個懸而未決的問題。

在這項工作中，研究人員引入了一個用于顯式、隱式和數據重新上傳量子模型的統一框架。

圖 2：量子機器學習中的模型族。（來源：論文）

量子學習模型的統一框架

首先回顧線性量子模型的概念，并根據量子特征空間中的定義線性模型解釋顯式和隱式模型。然后，展示了數據重新上傳模型，并展示了盡管被定義為顯式模型的推廣，但它們也可以通過更大的希爾伯特空間中的線性模型來實現。

線性量子模型

下圖給出了一個說明性結構，以直觀地說明如何實現從數據重新上傳到顯式模型的映射。

圖 3：近似于數據重新上傳電路的說明性顯式模型。（來源：論文）

這種結構背后的總體思想是將輸入數據 x 編碼為輔助量子比特，達到有限精度，然后可以重復使用它來使用與數據無關的單一體來近似數據編碼門。

現在轉向主要結構，導致數據重新上傳和顯式模型之間的精確映射。在這里，依賴于與前面結構相似的思想，在輔助量子位上對輸入數據進行編碼，然后使用數據獨立操作在工作量子位上實現編碼門。這里的區別在于，使用門傳送（ gate-teleportation）技術，一種基于測量的量子計算，直接在輔助量子位上實現編碼門，并在需要時將它們傳送回（通過糾纏測量）到工作量子位上。

圖 4：使用門隱形傳態從數據重新上傳模型到等效顯式模型的精確映射。（來源：論文）

研究人員證明了線性量子模型不僅可以描述顯式和隱式模型，還可以描述數據重新上傳電路。更具體地說，任何假設類的數據重新上傳模型都可以映射到等效類的顯式模型，即具有受限可觀察量族的線性模型。

接著，研究人員更嚴格地分析了顯式和數據重新上傳模型相對于隱式模型的優勢。在例子中，通過量子比特數和實現非平凡預期損失所需的訓練集大小來量化量子模型解決學習任務的效率。關注的學習任務是學習奇偶函數。

圖 5：學習分離。（來源：論文）

超越核方法的量子優勢

量子機器學習的一個主要挑戰是，表明這項工作中討論的量子方法可以實現優于（標準）經典方法的學習優勢。

在這方面的研究中，谷歌量子人工智能的 Huang 等人（?https://www.nature.com/articles/s41467-021-22539-9??）建議研究目標函數本身由（顯式）量子模型生成的學習任務。

與 Huang 等人類似，研究人員使用來自 fashion-MNIST 數據集的輸入數據進行回歸任務，每個示例都是一個 28x28 的灰度圖像。

圖 6：顯式、隱式和經典模型在「量子定制」學習任務上的回歸性能。（來源：論文）

觀察到：隱式模型系統地實現比顯式模型更低的訓練損失。特別是對于非正則化損失，隱式模型實現了 0 的訓練損失。另一方面，關于代表預期損失的測試損失，從 n = 7 量子位開始的明顯分離，其中經典模型開始與隱式模型具有競爭性能，而顯式模型明顯勝過他們兩個。這表明，不應僅通過將經典模型與量子核方法進行比較來評估量子優勢的存在，因為顯式（或數據重新上傳）模型也可以隱藏更好的學習性能。

這些結果讓我們對量子機器學習領域有了更全面的了解，并拓寬了我們對模型類型的看法，以便在 NISQ 機制中實現實際的學習優勢。

研究人員認為證明不同量子模型之間存在指數學習分離的學習任務是基于奇偶函數的，這在機器學習中不是一個實際感興趣的概念類。然而，下限結果也可以擴展到其他具有大維度概念類（即由許多正交函數組成）的學習任務。

量子核方法必然需要許多與該維度成線性比例的數據點，而正如我們在結果中展示的那樣，數據重新上傳電路的靈活性以及顯式模型的有限表達能力以節省大量資源。探索這些模型如何以及何時可以針對手頭的機器學習任務進行定制仍然是一個有趣的研究方向。