前幾天，一篇加州理工和MIT研究者用ChatGPT證明數(shù)學(xué)定理的論文爆火，在數(shù)學(xué)圈引發(fā)了極大關(guān)注。

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英偉達(dá)首席科學(xué)家Jim Fan激動轉(zhuǎn)發(fā)，稱AI數(shù)學(xué)Copilot已經(jīng)到來，下一個發(fā)現(xiàn)新定理的，就是全自動AI數(shù)學(xué)家了！

紐約時報近日也發(fā)文，稱數(shù)學(xué)家們做好準(zhǔn)備，AI將在十年內(nèi)趕上甚至超過最優(yōu)秀的人類數(shù)學(xué)家。

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而陶哲軒本人，也轉(zhuǎn)發(fā)了此文。

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Siobhan Roberts參加了今年Machine Assisted Proofs舉辦的IPAM研討會，隨后她根據(jù)自己的經(jīng)歷和采訪，寫下了這篇關(guān)于AI和數(shù)學(xué)的文章

AI也來顛覆數(shù)學(xué)界了！

如今，數(shù)學(xué)家們不得不正視一股最新的革命性力量——AI。

2019年，谷歌前雇員、現(xiàn)任灣區(qū)初創(chuàng)公司員工的計算機(jī)科學(xué)家Christian Szegedy預(yù)測，計算機(jī)系統(tǒng)將在十年內(nèi)趕上或超過最優(yōu)秀的人類數(shù)學(xué)家解決問題的能力。而去年，他把目標(biāo)日期修改為2026年。

卡內(nèi)基梅隆大學(xué)的邏輯學(xué)家Jeremy Avigad（藍(lán)衣服），與學(xué)生在形式化數(shù)學(xué)暑期學(xué)校中

2018年菲爾茲獎得主、普林斯頓高等研究院的數(shù)學(xué)家Akshay Venkatesh目前還對使用AI不感興趣，但他十分熱衷于討論AI相關(guān)的話題。

去年的采訪中，Venkatesh表示，「我希望我的學(xué)生意識到，這個領(lǐng)域會發(fā)生非常大的變化。」

而最近他的態(tài)度是：「我不反對通過深思熟慮、甚至刻意地使用AI，來輔助人類的理解。但我堅信，對于我們使用它的方式，我們需要保持正念，慎之又慎。」

在今年二月，加州大學(xué)洛杉磯分校理論與應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所，曾舉行了一場關(guān)于「機(jī)器輔助證明」的研討會。

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研討會的主要組織者，就是2006年的菲爾茲獎得主、在UCLA任職的數(shù)學(xué)家陶哲軒。

他指出，用AI輔助數(shù)學(xué)證明，其實是非常值得關(guān)注的現(xiàn)象。

直到最近幾年，數(shù)學(xué)家才開始擔(dān)心AI的潛在威脅，無論是AI對于數(shù)學(xué)美學(xué)的破壞，還是對于數(shù)學(xué)家本身的威脅。

而杰出的社區(qū)成員們，正在把這些問題擺上臺面，開始探索如何「打破禁忌」。

暑期學(xué)校的組織者，自左至右：Avigad，Patrick Massot和Heather Macbeth

從歐幾里得幾何原本到計算機(jī)代碼

幾千年來，數(shù)學(xué)家已經(jīng)早已適應(yīng)了邏輯和推理的最新進(jìn)展。不過，他們準(zhǔn)備好迎接人工智能了嗎？

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洛杉磯蓋蒂博物館中17世紀(jì)古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的肖像：他衣衫襤褸，舉著自己的幾何論文《元素》

2000多年來，歐幾里得的文本一直是數(shù)學(xué)論證和推理的范式。

卡內(nèi)基梅隆大學(xué)邏輯學(xué)家Jeremy Avigad說，歐幾里得以近乎詩意的「定義」開始，在此基礎(chǔ)上建立了當(dāng)時的數(shù)學(xué)——使用基本概念、定義和先前的定理，每個連續(xù)的步驟都「清楚地遵循」以前的步驟，以這樣一種方式證明事物。

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有人抱怨說，歐幾里得的一些「明顯」的步驟，其實不太明顯，但Avigad博士說，但這個系統(tǒng)奏效了。

但是到20世紀(jì)以后，數(shù)學(xué)家們不愿意再將數(shù)學(xué)建立在這種直觀的幾何基礎(chǔ)上了。

相反，他們開發(fā)了正式的系統(tǒng)，這個系統(tǒng)中有著精確的符號表示和機(jī)械的規(guī)則。

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https://kilthub.cmu.edu/articles/journal_contribution/A_Formal_System_for_Euclid_s_Elements/6490703

最終，在這種系統(tǒng)下，數(shù)學(xué)可以被翻譯為計算機(jī)代碼。

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1976年，四色定理成為第一個在暴力計算的幫助下被證明的主要定理。

四色定理：四種顏色足以填充地圖，使得沒有兩個相鄰區(qū)域顏色相同

會抱怨的AI：抱歉，我看不懂你們的定理

有這樣一個數(shù)學(xué)小工具，被稱為證明助手，或交互式定理證明器。

數(shù)學(xué)家會一步一步地將證明轉(zhuǎn)換為代碼，然后用軟件程序檢查推理是否正確。

驗證過程會累積在一個動態(tài)規(guī)范參考庫中，其他人都可以查閱。

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https://www.andrew.cmu.edu/user/avigad/Papers/formal_turn.pdf

霍斯金森形式數(shù)學(xué)中心主任Avigad博士說，這種類型的形式化為今天的數(shù)學(xué)奠定了基礎(chǔ)，就像歐幾里得試圖將那個時代的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)碼，從而為其提供基礎(chǔ)一樣。

最近，開源證明助手系統(tǒng)Lean再次引發(fā)了大量關(guān)注。

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Lean是現(xiàn)在的亞馬遜計算機(jī)科學(xué)家Leonardo de Moura在微軟時開發(fā)的。

Lean使用的是自動推理，由老式的AI GOFAI提供支持，這是一個受邏輯啟發(fā)的象征式AI。

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截至目前，Lean已經(jīng)驗證了一個將球體從內(nèi)到外轉(zhuǎn)動的有趣定理，以及一個統(tǒng)一數(shù)學(xué)領(lǐng)域方案的關(guān)鍵定理。

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但是，證明助手也有缺點：它會時常抱怨自己不理解數(shù)學(xué)家輸入的定義、公理或推理步驟，因此它也被賜名「證明抱怨器」。

這些抱怨會讓研究變得繁瑣，但Fordham大學(xué)的數(shù)學(xué)家Heather Macbeth表示，這類提供逐行反饋的功能，也會讓系統(tǒng)對教學(xué)很有用。

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https://leanprover-community.github.io/courses.html

今年春天，Macbeth博士曾設(shè)計了一門「雙語」課程，她將黑板上的每個問題都翻譯成講義中的Lean代碼，學(xué)生們需要用Lean和自然語言提交解決方案。

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https://hrmacbeth.github.io/math2001/

「這給了他們信心，」Macbeth博士說，因為他們會收到即時反饋，關(guān)于證明何時完成，以及沿途的每一步是對還是錯。

而在參加研討會后，約翰霍普金斯大學(xué)的數(shù)學(xué)家Emily Riehl也嘗試了一把。

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約翰霍普金斯大學(xué)的數(shù)學(xué)家Emily Riehl一直在使用實驗證明輔助程序

她用了一個證明助手小程序，來證明自己此前發(fā)表過的文章中的定理。

使用完后，她大為震驚。「我現(xiàn)在很深入得了解了證明的過程，比我之前的理解要深刻得多。我的思路如此清晰，以至于我可以向最蠢的計算機(jī)解釋清楚。」

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學(xué)生們在數(shù)學(xué)形式化暑期學(xué)校期間參加的一個小組項目

暴力推理——這很不「數(shù)學(xué)」

另一個計算機(jī)科學(xué)家們經(jīng)常會用來解決一些數(shù)學(xué)問題的工具叫做「暴力推理」，但是數(shù)學(xué)界對于這種方法卻常常嗤之以鼻。

然而，AI科學(xué)家們好像并不太在意數(shù)學(xué)家們的想法，不斷地用他們自己熟悉的辦法，去攻占數(shù)學(xué)「高地」。

卡耐基梅隆大學(xué)的計算機(jī)科學(xué)家Heule曾經(jīng)在2016年用一個200T的「SAT 求解器」文件去解決「布爾畢達(dá)哥拉斯三元組問題」。

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https://cacm.acm.org/magazines/2017/8/219606-the-science-of-brute-force/fulltext

《自然》雜志在文章中卻說到：200T的證明是史上最大的證明過程，用這些工具解決問題是否真的算數(shù)學(xué)？

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但是在解決問題的論文作者本人，計算機(jī)科學(xué)家Heule看來，「這種方法是解決超過人類能力范圍的問題所必須的。」

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同樣的，在國際象棋比賽中戰(zhàn)勝了人類（AlphaZero）之后，DeepMind又設(shè)計了機(jī)器學(xué)習(xí)算法來解決蛋白質(zhì)折疊（AlphaFold）。

DeepMind發(fā)表了一篇論文，認(rèn)為他們?nèi)〉眠@些成果的方式，是通過AI來引導(dǎo)人類的直覺，從而推進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)展。

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https://www.nature.com/articles/s41586-021-04086-x

而一位前谷歌計算機(jī)科學(xué)家，現(xiàn)在正在灣區(qū)創(chuàng)業(yè)的Yuhuai Wu也表示，自己的創(chuàng)業(yè)的方向就是利用機(jī)器學(xué)習(xí)來解決數(shù)學(xué)問題。

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他目前的項目，Minerva，就是一個用來解決數(shù)學(xué)模型的微調(diào)大語言模型。

未來，他希望這個項目能成長為一個「自動化數(shù)學(xué)家」，可以作為一個通用研究助理來「獨立解決數(shù)學(xué)問題」。

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數(shù)學(xué)是一個試金石

另一方面，很多深度接觸過AI技術(shù)的數(shù)學(xué)家也對AI在數(shù)學(xué)研究中不被重視提出了擔(dān)心。

他們認(rèn)為，人工智能技術(shù)經(jīng)常能夠「直接地」幫助數(shù)學(xué)家們「找到」自己想要的答案。

雖然數(shù)學(xué)家或者AI專家們都搞不清楚AI是如何找到這個答案的。

與DeepMind合作過的數(shù)學(xué)家Geordie Williamson曾經(jīng)分享了一段與DeepMind合作的經(jīng)歷。

他在和DeepMind合作的過程中，DeepMind發(fā)現(xiàn)的一個神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以預(yù)測他認(rèn)為很重要的數(shù)據(jù)值，而且異常準(zhǔn)確。

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他就很努力地去試圖理解AI是如何做到的，因為這可能成為一個定理的基礎(chǔ)。

但他最后還是沒辦法搞懂AI的邏輯，而且DeepMind的人也沒法做到。

就像歐幾里得一樣，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以某種方式找到了真理，但是邏輯原因卻很難被理解。

另一方面，從這位數(shù)學(xué)家的角度看來，推理是數(shù)學(xué)的精髓，但卻是機(jī)器學(xué)習(xí)中一直缺少的一塊拼圖。

在科技圈中，如果有一個黑箱在大部分情況下都能提供解決問題的方法，科技圈就會非常滿足了。

AI就是這樣一個黑箱。

但是數(shù)學(xué)家們卻不會滿足于這種狀況。

這位數(shù)學(xué)家看來，嘗試?yán)斫馍窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)的原理會引發(fā)出令人著迷的數(shù)學(xué)問題。

而解決這些問題，會讓數(shù)學(xué)家「為世界做出有意義的貢獻(xiàn)」。

假如AI能證明數(shù)學(xué)定理

如果AI生成的假設(shè)定理充斥整個世界，我們該怎么做？

網(wǎng)友對此發(fā)出靈魂拷問，我對AI系統(tǒng)提出新的假設(shè)/公式是第一步有所懷疑，因為DeepMind早已在紐結(jié)理論中做到了。

我想知道，社區(qū)將如何應(yīng)對AI輸出的大量新假設(shè)。check人工智能創(chuàng)建的邏輯論點是一回事；被數(shù)百萬個「哦，這可能是真的」建議淹沒是另一回事。我不認(rèn)為我們現(xiàn)有的評論和出版系統(tǒng)為此做好了準(zhǔn)備。

這會對人們對數(shù)學(xué)的信任產(chǎn)生什么影響？

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有人認(rèn)為，機(jī)器并不能很快就能完成數(shù)學(xué)研究，但可以看到它改變了研究方式，就像機(jī)器學(xué)習(xí)模型和計算能力如何改變了生物學(xué)領(lǐng)域一樣。

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還有網(wǎng)友表示，從AlphaDev開始，我就一直在思考這個問題，但是同樣的程序可以構(gòu)建排序算法，也可以使用自動證明檢查器來證明數(shù)學(xué)定理。真正的問題是它是否可以用來證明一些重要的東西，而不僅僅是微不足道的發(fā)現(xiàn)。

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不過還是有網(wǎng)友依然對GPT類的工具能否真的發(fā)現(xiàn)有價值的真理持懷疑態(tài)度。

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也有網(wǎng)友指出，可能人類和AI對于數(shù)學(xué)理解和關(guān)注本就有區(qū)別，AI證明了什么是真的，而人類總是關(guān)注為什么它是真的。