陶哲軒上新項目：Lean中證明素數(shù)定理，研究藍圖都建好了
「由 Alex Kontorovich 和我領導的一個新的 Lean 形式化項目剛剛正式宣布，該項目旨在形式化素數(shù)定理（prime number theorem，PNT）的證明，以及伴隨而來的復分析和解析數(shù)論的支持機制，并計劃給出進一步的結(jié)果如 Chebotarev 密度定理。」著名數(shù)學家陶哲軒在個人博客中寫道。
素數(shù)定理是數(shù)學中的一個重要定理，描述了素數(shù)在自然數(shù)中的分布規(guī)律，該定理在數(shù)論中是一個比較重要的研究方向。
形式化證明本質(zhì)上是一種計算機程序，但與 C++ 或 Python 中的傳統(tǒng)程序不同，證明的正確性可以用證明助手（比如 Lean 語言）來驗證。舉例來說，陶哲軒在論文《A MACLAURIN TYPE INEOUALITY》中給出的證明只有不到一頁，但形式化證明使用了 200 行 Lean 語言。
而陶哲軒的合作者 Alex Kontorovich 也是一位非常著名的數(shù)學家，現(xiàn)為羅格斯大學數(shù)學系特聘教授，主要研究方向是數(shù)論。
目前，這兩位數(shù)學家合作的 Lean 形式化項目「PrimeNumberTheoremAnd」已經(jīng)上傳到 GitHub 上。
項目地址：https://github.com/AlexKontorovich/PrimeNumberTheoremAnd
因為該項目剛建立不久，陶哲軒以及 Alex Kontorovich 還為此構建了一幅藍圖：
藍圖地址：https://alexkontorovich.github.io/PrimeNumberTheoremAnd/web/
可以看出該藍圖包含 5 個部分：
第一部分介紹了項目的首要目標是在 Lean 中證明素數(shù)定理。他們表示該問題仍然是 Wiedijk 列出的需要形式化的 100 個定理中突出的問題之一。值得注意的是，PNT 之前已被形式化過，由 Avigad 等人在 Isabelle 中完成。而該項目的目標是將這項工作擴展到級數(shù)中的素數(shù)（Dirichlet 定理）、Chebotarev 密度定理等等。
目前，完成上述目標可以考慮下面三種方法：
最快的是 Michael Stoll 提出的「歐拉積」項目，該項目對 PNT 的證明只缺少 Wiener-Ikehara Tauberian 定理（對應第二部分）。
第二種是開發(fā)一些復分析，包括在矩形上的殘差計算（residue calculus on rectangles）、參數(shù)原理（argument principle）和 Mellin 變換，從而得出一個僅包含漸近公式的素數(shù)定理（PNT）的證明（對應第三部分）。
第三種方法，也是三種方法中最通用的一種，包括阿達馬因子分解定理、Hoffstein-Lockhart 等過程（對應第四部分）。
最后一部分是基本推論。
其實回顧陶哲軒以往的研究，他都多次都提到過 Lean。簡單來講，Lean 是一種可幫助數(shù)學家驗證定理的編程語言，用戶可以在其中編寫和驗證證明。相比初代 Lean，現(xiàn)在最新的 Lean 4 版本進行了多項優(yōu)化，包括更快的編譯器、改進的錯誤處理和更好的與外部工具集成的能力等。現(xiàn)在，陶哲軒他們又將該工具用于素數(shù)定理的形式化證明，可見 Lean 已成為數(shù)學研究中的得力助手。
