神經網絡算法是一種模擬人腦神經元結構和信息處理方式的機器學習模型，其核心思想是通過對輸入信息進行分層處理，逐層提取數據特征，進而完成分類、回歸等任務。

神經網絡算法作為深度學習的基礎模型之一，已經在圖像識別、自然語言處理、時間序列預測等多個領域取得了顯著的成功。

神經網絡算法的基本結構

神經網絡算法由輸入層、隱藏層和輸出層組成，每個層包含若干神經元。

• 輸入層
  輸入層負責接收輸入數據，每個神經元代表輸入數據的一個特征。
• 隱藏層
  隱藏層位于輸入層和輸出層之間，用于對數據進行復雜的非線性轉換。
  隱藏層的數量和神經元的數量是網絡性能的重要參數。
• 輸出層
  輸出層是神經網絡的最后一層，它將隱藏層的計算結果轉換為最終的輸出。
  輸出層的神經元數量取決于具體任務。對于分類問題，輸出層的神經元數量通常等于類別數；對于回歸問題，輸出層通常只有一個神經元。

神經元的工作原理

每個神經元接收來自上一層的輸入值，這些輸入值與神經元的權重相乘并累加得到一個加權和。然后，這個加權和通過一個非線性激活函數進行處理，得到該神經元的輸出。

神經元的計算過程可以用以下公式表示：

其中， 是輸入， 是對應的權重， 是偏置項， 是加權和。

加權和經過激活函數  后，得到神經元的輸出：

激活函數

激活函數用于引入了非線性，從而讓神經網絡能夠處理復雜的非線性關系。

常見的激活函數包括

• Sigmoid
  輸出范圍為 0 到 1，常用于二分類問題。
• Tanh
  輸出范圍為 ?1 到 1
• ReLU
  輸出為正值時保持不變，負值時輸出為零。
  由于其計算簡單且效果較好，ReLU 是最常用的激活函數之一。
• Softmax
  常用于多分類問題，用于計算每個類的概率分布。

神經網絡的工作過程

神經網絡的工作過程可以概括為以下幾個關鍵步驟：前向傳播、損失計算、反向傳播和權重更新。

通過這些步驟，神經網絡從輸入數據中學習，并調整權重以提高預測的準確性。

接下來，我們逐步詳細解釋每一個過程。

前向傳播

前向傳播是神經網絡的預測過程，即從輸入數據開始，一層一層地傳遞計算，最終得到輸出結果。

具體步驟

• 輸入層
  將輸入數據直接傳遞給第一層的神經元，每個輸入對應一個神經元。
• 隱藏層計算
  對于每一層的神經元，將上一層輸出的值與當前層的權重 w 和偏置 b 進行線性組合，然后應用激活函數進行非線性轉換。
  數學表達為：其中， 是第 l 層的線性組合結果， 是第 l 層的權重矩陣， 是上一層的輸出， 是偏置向量。
  接下來通過激活函數  進行非線性變換
  
  這里  是第 l 層的輸出。
• 輸出層計算
  當傳遞到輸出層時，網絡的最終輸出  會根據設計的任務有所不同。

損失函數

損失函數用于衡量神經網絡輸出（預測值）與實際目標值之間的差異。不同任務通常使用不同的損失函數。

• 對于回歸問題，常用的損失函數是均方誤差（MSE）其中， 是預測值， 是真實值， 是樣本數。
• 對于分類問題，常用的損失函數是交叉熵損失（Cross-Entropy Loss）其中， 是真實標簽（0或1）， 是預測概率。

損失函數的輸出是一個標量，它代表整個網絡對當前數據集的預測誤差。

反向傳播

反向傳播用于計算損失函數對網絡中各個參數（權重和偏置）的梯度。

這個過程利用了鏈式法則，將誤差從輸出層逐層傳播回去，從而更新每一層的參數。

反向傳播步驟

1. 輸出層誤差
   首先計算輸出層的誤差，即損失函數對輸出層激活值的偏導數其中， 表示輸出層的誤差， 是激活函數的導數。
2. 隱藏層誤差
   對于隱藏層的神經元，誤差由上一層傳播過來，通過鏈式法則計算。
   對于第 l 層，誤差為：這里， 是第  層的誤差， 是第  層的權重轉置矩陣， 是激活函數的導數。
3. 梯度計算
   反向傳播中，我們計算每一層的權重和偏置的梯度

• 權重梯度
• 偏置梯度

權重更新

通過反向傳播計算得到每一層權重和偏置的梯度后，使用優化算法來更新參數。

其更新公式如下

• 權重更新
• 偏置更新

其中， 是學習率，控制每次更新的步長。

案例分享

下面是一個使用神經網絡對鳶尾花數據集進行分類的示例代碼。

import numpy as np
import tensorflow as tf
from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.preprocessing import OneHotEncoder
from tensorflow.keras.models import Sequential
from tensorflow.keras.layers import Dense
from tensorflow.keras.optimizers import Adam

# 加載鳶尾花數據集
data = load_iris()
X = data.data
y = data.target.reshape(-1, 1)
encoder = OneHotEncoder()
y_onehot = encoder.fit_transform(y).toarray()
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y_onehot, test_size=0.2, random_state=42)

# 構建神經網絡模型
model = Sequential([
    Dense(10, input_shape=(4,), activatinotallow='relu'),  # 輸入層，4個輸入特征，10個神經元
    Dense(10, activatinotallow='relu'),                    # 隱藏層，10個神經元
    Dense(3, activatinotallow='softmax')                   # 輸出層，3個輸出類別
])


model.compile(optimizer=Adam(learning_rate=0.01), loss='categorical_crossentropy', metrics=['accuracy'])
# 訓練模型
model.fit(X_train, y_train, epochs=100, batch_size=10, verbose=1)
# 評估模型
loss, accuracy = model.evaluate(X_test, y_test, verbose=0)
print(f'Test Loss: {loss:.3f}, Test Accuracy: {accuracy:.3f}')