今年5月，由9位數(shù)學(xué)家組成的團(tuán)隊(duì)宣布取得重大突破——他們用總共800多頁的論文，基于過去將近30年堅(jiān)持不懈的努力，證明了幾何朗蘭茲猜想（Langlands conjecture）。

論文共同作者之一Lin Chen現(xiàn)任清華大學(xué)丘成桐數(shù)學(xué)科學(xué)中心助理教授

幾何朗蘭茲猜想的證明解決了一個(gè)巨大的開放問題，而且有望影響未來數(shù)十年的研究，因?yàn)樗赡芙⑸羁痰摹⒁庀氩坏降穆?lián)系。

更令人興奮的是，這并不是2024年唯一的重大進(jìn)展。事實(shí)上，僅在幾何領(lǐng)域就有幾個(gè)里程碑式的證明，黎曼假說和abc猜想等數(shù)論中的著名棘手問題也出現(xiàn)了突破。

通常，當(dāng)數(shù)學(xué)家找到方法將看似不相關(guān)的想法聯(lián)起來，打破不同研究領(lǐng)域之間的障礙時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生最好的結(jié)果。幾何朗蘭茲猜想的證明就是這樣的結(jié)果。

但這樣的突破通常不會(huì)憑空出現(xiàn)，而是數(shù)學(xué)家們經(jīng)過數(shù)十年的努力、通過漸進(jìn)步驟的積累才最終達(dá)成的。散落在各個(gè)角落的新想法被不斷地結(jié)合、審視、重組，，直到曾經(jīng)似乎完全不可能的事情變得不那么不可能，這就是數(shù)學(xué)得以進(jìn)步的方式。

幾何朗蘭茲猜想的證明

可以說，2024年的最大成果就來自朗蘭茲綱領(lǐng)（Langlands program），這是一個(gè)有著50年歷史的雄心勃勃的愿景，它的目標(biāo)本質(zhì)上是重新繪制數(shù)學(xué)地圖——將各個(gè)板塊整合成一個(gè)統(tǒng)一的盤古大陸，連接數(shù)學(xué)研究中的各個(gè)不同領(lǐng)域。

但可想而知，證明朗蘭茲綱領(lǐng)實(shí)際上極其困難，其中的陳述本身就非常復(fù)雜且硬核，更不用說證明它們所需的技術(shù)了。

20世紀(jì)80年代，一位數(shù)學(xué)家提出了這個(gè)綱領(lǐng)關(guān)鍵部分之一的幾何版本——「幾何朗蘭茲猜想」，但幾十年來都沒有人能夠解決，直到今年5月。

這個(gè)證明對(duì)于朗蘭茲綱領(lǐng)的其余部分而言是一個(gè)巨大的福音，而且將在未來產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響，帶動(dòng)了數(shù)學(xué)家們繼續(xù)挖掘相關(guān)成果。正如一位數(shù)學(xué)家所說，「它將滲透各領(lǐng)域之間的所有障礙。」

AI走向主舞臺(tái)

還記得ChatGPT初版本的數(shù)學(xué)能力嗎？當(dāng)時(shí)它雖然對(duì)各種自然語言任務(wù)手到擒來，但數(shù)學(xué)能力充其量只能給表情包提供素材。

在2024年之前，各路LLM都無法正確計(jì)算簡(jiǎn)單的加減乘除，更不用說解決應(yīng)用題了，至于為數(shù)學(xué)問題給出成熟的證明，那更是無從提起。

但今年開始，情況變得不一樣了。

一月份，谷歌DeepMind發(fā)布了能夠證明幾何問題的新模型AlphaGeometry，隨后在今年7月，它的升級(jí)版AlphaGeometry 2和AlphaProof在國際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽（IMO）中達(dá)到了相當(dāng)于銀牌的水平，甚至距離金牌只有1分之差。

AlphaProof是一項(xiàng)巨大的成就，它展示了人工智能快速增長的數(shù)學(xué)能力。陶哲軒在一次采訪和多次演講對(duì)談中都表示，對(duì)AI在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的前景非常看好，人工智能有望作為「副駕駛」（copilot）參與到未來的原創(chuàng)研究中。

我認(rèn)為，三年后，AI將對(duì)數(shù)學(xué)家有用，它將成為一個(gè)出色的co-pilot（副駕駛員）。 

你試圖證明一個(gè)定理，有一步你認(rèn)為是正確的，但你不太明白它是如何正確的，你可以說，「人工智能，你能幫我做這個(gè)嗎？」 它可能會(huì)說 「我想我能證明這一點(diǎn)」。 

有了AI，我們可以一次證明數(shù)百或數(shù)千條定理，人類數(shù)學(xué)家將指導(dǎo)AI做各種事情。因此，我認(rèn)為研究數(shù)學(xué)的方式將會(huì)改變，而且實(shí)際使用人工智能會(huì)變得越來越容易管理。

「球堆積」紀(jì)錄被打破

與幾何朗蘭茲猜想不同，「球堆積」問題的表述非常直觀：在給定的n維空間中要塞進(jìn)一堆半徑相同的球，如何排列才能使得密度最大，也就是塞進(jìn)的球最多？

在三維空間中，可以將球體排列成金字塔形，類似于香檳塔，但如果是更高維度呢？

2016年，烏克蘭數(shù)學(xué)家Maryna Viazovska證明了，如果要在8維和24維空間中填充球體，有一種特定的晶格結(jié)構(gòu)是最佳方式，但對(duì)于其他的高維空間，答案依舊未知。

數(shù)學(xué)家們希望找到一個(gè)通用的解決方案——一個(gè)公式，提供一種在任意高維度上密集堆積球體的方法，即使無法給出最優(yōu)解。

今年4月，我們見證了75年以來通用版本球堆積問題的首次重大進(jìn)展。數(shù)學(xué)家們沒有采用Viazovska那樣整齊有組織的方式排布球體，而是另辟蹊徑地利用圖論，給出了一個(gè)非常無序的堆積方案。

50年前米爾諾猜想的反例

證明古老的猜想很重要，但反駁它們也很重要。在數(shù)學(xué)和各種科學(xué)中，我們都必須始終保持懷疑，即使是對(duì)于直覺上很可能成立的事情。

正是這種懷疑和批判的態(tài)度帶來了今年另一個(gè)重要的幾何證明：三位數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)了發(fā)現(xiàn)了米爾諾猜想（Milnor conjecture）的反例。

米爾諾猜想是一個(gè)有50年歷史的問題，被稱為「拓?fù)鋵W(xué)的圣杯」，涉及流形的曲率與形狀之間的關(guān)系。

1968年，當(dāng)時(shí)普林斯頓大學(xué)的著名數(shù)學(xué)家John Milnor推測(cè)，如果一個(gè)完整形狀有較為平均的曲率，就足以告訴我們它不可能有無限多個(gè)孔。

舉出反例的這三位數(shù)學(xué)家曾經(jīng)花費(fèi)了很多的時(shí)間和精力試圖證明米爾諾猜想，但最終都宣告失敗，但柳暗花明又一村，他們從反面想到——或許這個(gè)猜想就是錯(cuò)的？或許可以有構(gòu)建反例的空間？

從這時(shí)開始，他們的進(jìn)展幾乎前所未有的順利。短短幾個(gè)月內(nèi)，三人就弄清楚了如何構(gòu)造一個(gè)奇怪的七維流形。他們通過以微妙而復(fù)雜的方式將無限多個(gè)七維碎片粘合在一起，一點(diǎn)一點(diǎn)組裝他們需要的整個(gè)流形，同時(shí)確保里奇曲率始終為非負(fù)值。

最終，他們得到了一個(gè)所謂的「平滑分形雪花」——一種無限而精致的自相似結(jié)構(gòu)。它在每個(gè)點(diǎn)上都有非負(fù)的里奇曲率，但有無數(shù)個(gè)洞，從而反駁了米爾諾猜想。

這項(xiàng)工作涉及一種新型結(jié)構(gòu)的開發(fā)，揭示了宇宙的可能形狀也許比數(shù)學(xué)家想象的還要奇怪，盡管以我們現(xiàn)在所知，宇宙的形狀的確非常奇怪。

數(shù)論的重要進(jìn)展

解決上述這些主要的幾何問題就像在數(shù)學(xué)的平原上豎立高聳的紀(jì)念碑。但為未來的紀(jì)念碑奠定更好的基礎(chǔ)也至關(guān)重要，這正是2024年數(shù)論領(lǐng)域所發(fā)生的情況。

對(duì)于該領(lǐng)域的一些頂級(jí)問題，數(shù)學(xué)家們?cè)趩栴}理解上取得了至關(guān)重要的進(jìn)展，盡管是漸進(jìn)的。

例如，MIT數(shù)學(xué)教授Larry Guth和牛津大學(xué)菲爾茲獎(jiǎng)得主James Maynard，在黎曼假說方面取得了重大突破，直接打破了80多年的紀(jì)錄。

雖然距離證明黎曼假說還有很長的一段距離，但包括陶哲軒在內(nèi)但多位數(shù)學(xué)家都表示，這是一個(gè)「歷史性的時(shí)刻」，是1940年之后取得的唯一實(shí)質(zhì)性突破，兩位作者的工作取得了「轟動(dòng)性的結(jié)果」。

此外，組合數(shù)學(xué)領(lǐng)域最大的未解問題之一——完全無序的數(shù)學(xué)不可能性，被UCLA華人研究生和兩位MIT研究生取得了突破，他們?cè)谡撐闹刑接懥藬?shù)學(xué)中的無序如何不可避免地產(chǎn)生秩序，標(biāo)志著Szemeredi問題數(shù)十年來的首次進(jìn)展。

不可否認(rèn)，所有這些數(shù)論問題距離解決還有很長的路要走，但通過一步步接近，數(shù)學(xué)家們開發(fā)出了強(qiáng)大的新工具包并闡明了新的觀點(diǎn)。加上人工智能領(lǐng)域日新月異的進(jìn)展，誰能預(yù)測(cè)2025年及以后會(huì)發(fā)生什么？