量子在解決數學問題中發揮了它們的魔法。

1779 年，瑞士大名鼎鼎的數學家萊昂哈德 · 歐拉（Leonhard Euler）曾提出一個問題：即從不同的 6 個軍團（army regiment）各選 6 種不同軍階（rank）的 6 名軍官（officers）共 36 人，排成一個 6 行 6 列的方隊，使得各行各列的 6 名軍官恰好來自不同的軍團而且軍階各不相同，應如何排這個方隊？歷史上稱這個問題為「三十六軍官問題」。三十六軍官問題提出后，很長一段時間沒有得到解決。

圖源：irishtimes.com

當有 5 個軍階和 5 個軍團，或者 7 個軍階和 7 個軍團時，這個難題就很容易解決。但歐拉沒有找到三十六軍官的解決方案，他得出結論：這樣的排列是不可能的，盡管無法給出嚴格的證明。

一個多世紀后的 1901 年，法國數學家加斯頓 · 塔里（Gaston Tarry）證明，確實沒有辦法將歐拉的 36 名軍官排列在一個 6×6 的正方形中而不重復，他寫出了 6x6 正方形的所有可能排列，證明 36 個軍官問題是不可能的。時間到了 1960 年，數學家們使用計算機證明了對于任何數量的軍階和軍團問題，都有解決方案，除了 6 個軍階和 6 個軍團。

200 多年來，這個謎題吸引了無數的數學家。他們制作了「魔方」，魔方由一組排放在正方形中的整數組成，其每行、每列以及每一條主對角線的和均相等；除此以外，還有研究者制作了「拉丁方陣」，這是一種 n × n 的方陣，在這種 n × n 的方陣里，恰有 n 種不同的元素，每一種不同的元素在同一行或同一列里只出現一次。

目前，流行著一種拉丁方陣，即數獨 (Sudoku)，數獨中也沒有重復的符號。歐拉三十六軍官問題要求一個「正交拉丁方陣」，需要滿足兩組屬性，例如軍階和軍團，都同時滿足拉丁方陣的規則。

一個五乘五的網格可以填充五個不同等級和五種不同顏色的棋子，這樣任何行或列都不會有重復的等級或顏色。

盡管歐拉認為不存在這樣的 6×6 方陣，但這一結論正在發生變化。

在提交給《物理評論快報》的一篇論文《 Thirty-six entangled officers of Euler: Quantum solution to a classically impossible problem 》中，來自印度理工學院（馬德拉斯理工學院校區）、雅蓋隆大學等機構的一組量子物理學家證明，可以以符合歐拉標準的方式安排 36 名軍官 ——只要軍官可以擁有軍階和軍團的量子混合。這是魔方和拉丁方陣的在量子版本的最新研究，這不僅是有趣的游戲，還可以應用于量子通信和量子計算。

論文地址：https://arxiv.org/pdf/2104.05122.pdf

因斯布魯克大學的量子物理學家 Gemma De las Cuevas（她并沒有參加這項研究）表示：「我認為他們的論文非常有意義，里面介紹了很多量子魔法。不僅如此，你還可以在整篇論文中感受到他們對這個問題的熱愛。」

量子拉丁方陣概念的引入

在量子力學中，電子等物體可以處于多個可能狀態的「疊加」中，這些狀態可以是這里和那里，也可以是上下磁定向。量子物體在被測量前一直處于中間或不定的狀態，測量后則處于一個狀態。量子拉丁方陣也可以處于量子疊加的量子態。在數學上，量子態由一個向量來表示，這個向量像箭頭一樣有長度和方向。一個疊加即是結合多個向量組成的箭頭。并且，類似于沿著拉丁方陣每行和每列的符號不重復的要求，沿著量子拉丁方陣每行或每列的量子態也必須對應彼此垂直的向量。

后來，量子拉丁方陣的特殊屬性令一群理論物理學家和數學家非常感興趣，并很快采用了這一概念。2020 年，法國數學物理學家 Ion Nechita 和 Jordi Pillet 創建了數獨游戲（Sudoku）的量子版本——SudoQ。他們沒有使用 0 到 9 之間的整數，相反 SudoQ 中的每個行、列和字方格都有 9 個垂直的向量。

Ion Nechita

這些進展令波蘭雅蓋隆大學的博士后研究員 Adam Burchardt（這項工作的共同一作）及其同事重新審視歐拉關于 36 軍官方陣的古老謎題。他們想知道，如果歐拉問題中的軍官是量子態的，又該如何呢？

Adam Burchardt

在該問題的經典版本中，每個條目（entry）都是具有明確軍階和軍團的軍官。將這 36 名軍官想象成彩色的棋子很有幫助，他們的軍階可以是國王、王后、車、象、馬或兵（國際象棋）。這些軍官所屬的軍團可以用紅色、橙色、黃色、綠色或紫色來表示。但在量子版本中，軍官是由軍階和軍團的疊加形成的，例如一名軍官可以是紅色國王和橙色王后的疊加。

至關重要的是，組成這些軍官的量子態具有糾纏關系，它涉及到了不同實體之間的關聯性。例如，如果一個紅色的國王與橙色的王后糾纏在一起，那么即使國王和王后都處于多個軍團的疊加態中，我們觀察到國王是紅色的，則會立刻知道王后是橙色的。正是因為糾纏的特殊屬性，沿著每條線的軍官都可以是垂直的。

用近似解和算法實現真正解

上述理論似乎有效，但為了證明這一點，研究者必須構建一個量子態軍官組成的 6×6 方陣。大量可能的配置和糾纏意味著他們必須借助計算機。因此，研究者插入了一個經典近似解（由 36 名經典軍官組成的排列，一行或一列中只有少數軍官的軍階和團是重復的），并應用了一種算法，將排列調整為真正的量子解。該算法的工作原理有點像使用蠻力玩魔方，首先固定第一行，然后是第一列、第二列，以此類推。當他們一遍遍地重復該算法時，36 軍官方陣謎題越來越接近真正解了。

最終，研究者得到了這種模式，并手動地填寫了剩余少數條目。

從某種意義上來說，歐拉被證明是錯誤的，盡管在 18 世紀，他不可能知道量子軍官存在的可能性。

「他們關閉了關于這個問題的書，這已經很好了，」Ion Nechita 說。「這是一個非常漂亮的結果，我喜歡他們獲得它的方式。」

根據合著者、欽奈印度馬德拉斯理工學院物理學家蘇海爾 · 拉瑟的說法，他們的解決方案的一個令人驚訝的特點是，軍官等級只與相鄰等級（國王與皇后、白車與主教、騎士與棋子）糾纏在一起。與相鄰團的團。另一個驚喜是出現在量子拉丁方格中的系數。這些系數本質上是告訴你在疊加中賦予不同項多少權重的數字。奇怪的是，該算法所采用的系數的比率是 Φ，即 1.618……，即著名的黃金比例。

該解決方案也被稱為絕對最大糾纏態 (AME，Absolutely Maximally Entangled state)，這是一種關于量子對象的排列問題，在包括量子糾錯在內的許多應用都很重要，例如在量子計算機中存儲冗余信息的方式，這樣即使數據損壞，信息也能保存下來。在 AME 中，量子對象的測量值應該存在比較強的相關性：我們以拋硬幣來說，如果兩個人（Alice、Bob）拋糾纏硬幣，其中 Alice 拋硬幣并得到正面，那么他定肯知道 Bob 是反面，反之亦然。兩枚硬幣可以最大限度地糾纏在一起，三枚也可以，但四枚不行：如果有兩個人一起加入拋硬幣，Alice 就永遠不知道 Bob 得到了什么。

然而，新的研究證明，如果你有一組四個糾纏在一起的骰子，而不是硬幣，它們可以被最大程度地糾纏在一起。六面骰子的排列相當于 6×6 量子拉丁方陣。由于解決方案中存在黃金比例，研究人員將其稱為「黃金 AME」。

研究人員已經從經典的糾錯碼開始設計其他的 AME，并找到了類似的量子版本。但是新發現的黃金 AME 是不同的，它沒有經典的加密模擬。Burchardt 認為這些發現可能是新的第一類量子糾錯碼。