大模型做奧賽題游刃有余，簡單的數數卻屢屢翻車的原因找到了。

谷歌的一項新研究，發現大模型不會數數的原因，并不是簡單的tokenizer所致，而是沒有足夠的空間來存儲用于計數的向量。

數出一段話中某個單詞出現的次數，這樣簡單的任務可以難倒許多大模型，GPT-4o、Claude 3.5也無法幸免。

如果再進一步，想要找到出現頻率最高的一個詞，更是難如登天，即便能蒙對給出的具體數量也是錯的。

有人認為是詞匯的token化導致了大模型看到的“詞”和我們的看法不一致，但論文表明，實際情況并不是這么簡單。

想數清單詞，嵌入維度要夠大

Transformer的計數能力與其嵌入維度d和詞匯量m（指詞匯表中詞的數量，非序列長度）的關系密切相關。

詳細的原因，就涉及到了Transformer統計詞頻時的機制。

Transformer通過一種特殊的嵌入方式，利用嵌入空間的線性結構，巧妙地將計數問題轉化為了向量加法。

具體說是將每個詞映射到一個獨特的正交向量上，在這種表示下，詞頻可以通過對這些正交向量求和來簡單地計算。

然而，這種機制的局限性在于，它要求詞匯表中的每個詞都有一個獨立的正交向量表示，因此嵌入維度必須大于詞匯量。

嵌入維度不足時，詞向量就無法保持正交性，詞頻的線性疊加也就無法實現了。

此時Transformer要實現計數，可以通過注意力機制（CountAttend）來實現，但需要一個隨序列長度n線性增長的大型“逆轉MLP”層。

具體來說，模型首先通過注意力賦予被查詢詞較大的權重，再利用位置編碼將注意力權重提取到值向量的最后一個元素，這個元素實際記錄了被查詢詞的出現頻率的倒數。

這意味著，模型需要一個大小為O(n)的MLP層來計算1/x函數（x為某個詞出現的次數）。

但進一步分析表明，任何常數層ReLU網絡都無法在o(n)的神經元數量下逼近1/x函數。

因此，對于固定規模的Transformer，這種方案無法推廣到任意長度的序列。當序列長度超出訓練集長度時，模型的計數能力會急劇惡化。

長度非主要因素，詞匯表中數量是關鍵

為了驗證這一結論，作者一共進行了兩個實驗。

第一個實驗，是在一個從頭開始訓練的Transformer模型上進行的，具體有關參數如下：

• 使用一個由兩個Transformer層、四個注意力頭組成的標準模型；
• 嵌入維度d的取值范圍為8到128；
• 對每個固定的d，詞匯量m從5到150變化，分別測試20個不同的值；
• 模型使用Adam優化器從零開始訓練，批量大小為16，學習率為10^-4，訓練10萬步。

訓練和評測數據通過隨機采樣生成。首先從大小為m的詞匯表中均勻采樣n個詞，構成一個長度為n的序列。

序列長度n設置為n=10m，平均每個詞出現的次數固定為10次，一共使用了1600個樣本進行測試。

作者發現，隨著詞匯量的增加，模型的計數準確率呈階梯狀下降，臨界點恰好出現在詞匯量超過嵌入維度的時刻。

為了進一步量化模型的計數能力，作者定義了一個指標m_thr，表示模型的計數準確率下降到80%時的臨界詞匯量。

直觀地說，m_thr反映了在給定嵌入維度下，模型可以“承受”的最大詞匯量，m_thr越大說明模型的計數能力越強。

結果顯示，對于計數（QC）和找出最高頻詞（MFC）的任務，m_thr都隨嵌入維度d的增大而近似線性增長。

第二個實驗則是在預訓練的Gemini 1.5模型上開展，在這個實驗中，作者更關注詞匯量對計數能力的影響。

他們設計了一系列計數任務，每個任務使用不同大小的詞匯表，并把每個詞在序列中出現的平均次數固定。

這意味著，在實驗組當中，詞匯量越大，序列長度也就越長。

作為對照，作者還設置了一個“Binary Baseline”，詞匯表中只有固定為兩個詞，但序列長度與主實驗組相同。

這樣一來，就可以判斷出帶來模型計數誤差的究竟是詞匯量還是序列長度。

實驗結果顯示，隨著詞匯量的增加，Gemini 1.5在計數任務上的平均絕對誤差顯著上升，而“Binary Baseline”的誤差要低得多。

這表明，詞匯量的增加，而非序列長度的增長，是導致大模型計數能力下降的主要原因。

不過作者也表示，雖然這項研究一定程度上劃定了大模型計數能力的上下界，但這些界限還不夠緊致，距離理想的結果還有一定差距。

同時，作者也沒有探究增加Transformer的層數是否會改變這一結論，需要未來開發新的技術工具才能進一步驗證。

論文地址：https://arxiv.org/abs/2407.15160