諾獎(jiǎng)得主都沒找到的證明方法，現(xiàn)在被兩位華人學(xué)者突破了。

凝聚態(tài)物理奠基人菲利普·安德森（Philip Warren Anderson）提出的Anderson模型，因解釋了半導(dǎo)體材料中電子為何突然不再流動(dòng)而聞名。

這一成果也助力他獲得諾獎(jiǎng)。但是他當(dāng)時(shí)求教各路學(xué)者，也沒能解決這一模型的數(shù)學(xué)證明。這一問題也困擾了學(xué)界數(shù)十年，雖然陸續(xù)有研究提出，但是進(jìn)展都不夠重大。

終于，兩位華人學(xué)者聯(lián)手攻堅(jiān)16年，實(shí)現(xiàn)這一突破。

其中，尹駿還是中科大少年班校友。

Anderson模型：電子在走“迷宮”

20世紀(jì)50年代，貝爾實(shí)驗(yàn)室里一位名叫喬治·費(fèi)赫爾（George Feher）的物理學(xué)家正在往硅里注入少量其他元素，比如磷或砷。

他發(fā)現(xiàn)，少量加入時(shí)，電子可以在材料中自由移動(dòng)；隨著加入量增多，材料結(jié)構(gòu)會(huì)發(fā)生變化，到達(dá)某一個(gè)臨界點(diǎn)后，電子會(huì)突然被困住，材料將不導(dǎo)電。這個(gè)轉(zhuǎn)變點(diǎn)就像水在零度時(shí)會(huì)開始結(jié)冰。

這是半導(dǎo)體材料最明顯的一個(gè)特點(diǎn)，也是它能成為芯片材料的關(guān)鍵點(diǎn)：既能導(dǎo)電、又能絕緣，而且這種開關(guān)狀態(tài)可控。

這個(gè)現(xiàn)象很快吸引了當(dāng)時(shí)同在貝爾實(shí)驗(yàn)室的菲利普·安德森（Philip W. Anderson）。他想要解釋為什么材料會(huì)表現(xiàn)出這種特點(diǎn)。

1958年，他提出了一個(gè)量子力學(xué)模型——Anderson模型來解釋這種變化。

他想證明，當(dāng)材料的結(jié)構(gòu)足夠隨機(jī)時(shí)，電子就會(huì)從能夠自由移動(dòng)（離域化）轉(zhuǎn)變?yōu)橥耆焕Вň钟蚧?/span>

我們可以把Anderson模型看成對(duì)電子在材料里運(yùn)動(dòng)的描述。

簡(jiǎn)單來說，電子在材料里的運(yùn)動(dòng)就像在走迷宮，材料里的原子排列就像迷宮里的墻壁和通道。

Anderson模型想解釋的是：電子啥時(shí)候能在迷宮里自由跑動(dòng)（材料導(dǎo)電），啥時(shí)候會(huì)困在某個(gè)角落動(dòng)彈不得（材料不導(dǎo)電）。

如果原子排列有序，那么迷宮就會(huì)比較規(guī)整，比如只含單一元素的材料。通道清晰，電子就能順著通道跑很遠(yuǎn)，這時(shí)電子是離域的，材料是導(dǎo)電的。

但如果材料里摻雜了太多其他原子，打破了原本的排列，迷宮就會(huì)變得特別亂，到處都是死胡同，電子跑幾步就被擋住，最后被困在一小塊地方，這就是電子局域化，這時(shí)材料就不導(dǎo)電了。

Anderson模型的核心就是：當(dāng)材料的混亂程度超過某個(gè)臨界點(diǎn)時(shí)，電子就會(huì)從跑很遠(yuǎn)變成跑不動(dòng)。

雖然模型給出了材料從導(dǎo)電變成不導(dǎo)電的解釋，卻沒有嚴(yán)格的證明。

1977年，菲利普獲得諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)，他在演講中還提到，當(dāng)時(shí)他為了證明這一模型，請(qǐng)教騷擾了很多人，但是仍舊未果。

后來這一證明也困擾學(xué)界很久，不少研究人員都發(fā)布了一些成果，但是最重要的進(jìn)展還是這一次。

帶矩陣帶寬越寬，電子越活躍

要理解電子的整體行為，可以使用矩陣來計(jì)算一系列的值，這些值就是本征函數(shù)。

由于Anderson模型里的矩陣太復(fù)雜，計(jì)算本征函數(shù)十分困難，科學(xué)家們就找了個(gè)簡(jiǎn)化版工具來描述——帶矩陣。通過帶矩陣來計(jì)算特征值。

特征函數(shù)可以理解為電子在材料中各個(gè)位置出現(xiàn)的概率分布。函數(shù)值越大，說明電子在那個(gè)位置出現(xiàn)的概率越高；函數(shù)值在大范圍區(qū)域內(nèi)都不為零，說明電子能跑到很多地方（離域）；如果只在某個(gè)小區(qū)域有值，其他地方幾乎為零，說明電子被困住了（局域）。

這種矩陣像條帶子，中間對(duì)角線有數(shù)字，帶寬是指矩陣中非零元素分布的范圍，也就是從主對(duì)角線向兩側(cè)延伸的寬度。

可以抽象地認(rèn)為，帶寬越寬，電子可移動(dòng)的范圍就越大，帶寬越窄，電子可移動(dòng)范圍就小，甚至困在某一區(qū)域。

但是，該怎么用數(shù)學(xué)證明這個(gè)帶寬臨界點(diǎn)呢？

數(shù)學(xué)家們從最簡(jiǎn)單的一維情況下開始研究，也就是把帶矩陣想象成一根細(xì)繩。

這些數(shù)學(xué)家中就有姚鴻澤和尹駿。

2008年，尹駿在完成普林斯頓大學(xué)博士學(xué)業(yè)后加入姚鴻澤的團(tuán)隊(duì)，他們證明了當(dāng)帶寬非常寬時(shí)，大多數(shù)特征函數(shù)很小，也就是說電子都是離域的，但這個(gè)寬度離物理學(xué)家們預(yù)測(cè)的寬度還有很大距離。

后來他們?cè)嚵烁鞣N方法來進(jìn)行帶寬很窄情況下的分析，甚至研究過七維的復(fù)雜情況，但十年來都沒有太大的進(jìn)展。

直到2024年春天，姚鴻澤和尹駿意識(shí)到之前被他們摒棄的一種方法或許仍然有用——隨機(jī)矩陣?yán)碚撝姓{(diào)整矩陣的方法。

也就是把復(fù)雜的帶矩陣稍微改一改，變成容易研究的新矩陣，再證明改動(dòng)對(duì)結(jié)果沒影響。

在這個(gè)過程中需要解決兩個(gè)問題：第一，調(diào)整矩陣的過程中不會(huì)影響特征函數(shù)；第二，必須證明新矩陣的特征函數(shù)很小，也就是說電子是離域的。

用這種方法求解方程的過程中，他們被一堆復(fù)雜的方程繞暈了，陷入了噩夢(mèng)般的循環(huán)：求解并沒有得到一個(gè)簡(jiǎn)單整潔的答案，反而出現(xiàn)了更復(fù)雜的新方程。

尹駿回憶稱：

計(jì)算越來越復(fù)雜，Really？

在后來數(shù)月的時(shí)間里，他們畫了200多張圖才理清楚思路，找到了簡(jiǎn)化方程的方法，把原本纏繞的循環(huán)方程拆成了可逐步求解的線性鏈條。

他們證明了：在一維帶矩陣中，帶寬的寬度如果略寬于預(yù)測(cè)的閾值，特征函數(shù)必須很小，不會(huì)在某個(gè)局部區(qū)域集中出現(xiàn)大值，也就說明了此時(shí)電子沒有被困住，處于離域狀態(tài)。

這是Anderson模型提出以來，進(jìn)展最大的一次數(shù)學(xué)證明。

后來，他們把成果拓展到二維，并且在今年7月，三維問題也取得了重大進(jìn)展。

尹駿回憶2008年問及同伴在冬天結(jié)束之前是否能完成帶矩陣的研究時(shí)，同伴開玩笑反問“哪個(gè)冬天？”

在完成這項(xiàng)研究后，尹駿表示：

我沒有想到最終完成這項(xiàng)工作需要16個(gè)冬天。

兩代華人學(xué)者16年攻堅(jiān)

這項(xiàng)成果由兩位華人數(shù)學(xué)家?guī)恚阂櫇珊蚃un Yin。

姚鴻澤（Horng-Tzer Yau）是普林斯頓博士，本科畢業(yè)于臺(tái)灣大學(xué)，曾是斯坦福大學(xué)數(shù)學(xué)系教授，2005年起至今擔(dān)任哈佛大學(xué)數(shù)學(xué)教授。

當(dāng)時(shí)哈佛大學(xué)藝術(shù)及科學(xué)院院長(zhǎng)柯偉林評(píng)價(jià)他是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的先鋒人物，對(duì)幾率、隨機(jī)過程、非平衡態(tài)、統(tǒng)計(jì)物理及量子力學(xué)有重大貢獻(xiàn)，提供重大的研究觀念及方法。

姚鴻澤最初接觸高等數(shù)學(xué)是高中時(shí)開始自學(xué)，高一高二一天至少花10個(gè)小時(shí)學(xué)數(shù)學(xué)，主要原因是“高中太無聊了，學(xué)校的課程并不吸引人，又必須坐在那里，所以只能讀自己的書”。

自學(xué)的第一本高數(shù)教科書甚至是隨便買的，然后看這本書的參考目錄有什么，他就順著去找書讀。

高中時(shí)期對(duì)他幫助最大的Tom M.Apostol的《數(shù)學(xué)分析》，他做完了所有的習(xí)題。而會(huì)讀這本書的理由也很特別：因?yàn)槲业母咧袛?shù)學(xué)老師提過這是他們以前的課本，全班都掛科，我很好奇，就買來看。

基本上，我高中自學(xué)大學(xué)教材沒什么困難，但是大學(xué)時(shí)自學(xué)研究生階段的課程就有些困難。

不過他本科時(shí)期的考試成績(jī)并不是特別好，“大學(xué)時(shí)我是在浪費(fèi)時(shí)間”，覺得幾何、拓?fù)錄]什么意思，這導(dǎo)致他到大三時(shí)都不太想讀數(shù)學(xué)了。

主要原因可能還是他覺得課程沒什么意思。姚鴻澤覺得，數(shù)學(xué)不需要那么嚴(yán)格，不需要每樣都在大學(xué)里教，比如微積分這類可以教得嚴(yán)格一點(diǎn)。但嚴(yán)格也是相對(duì)的，如果用圖能一目了然證明，那畫個(gè)圖就好了，學(xué)生也能很快學(xué)會(huì)。

以我的觀點(diǎn)來看，寧可讓學(xué)生很快學(xué)到最直覺的觀點(diǎn)，看到定理的應(yīng)用，而不是用最嚴(yán)格的方法去證明。

后面姚鴻澤赴普林斯頓大學(xué)讀博士，當(dāng)時(shí)“學(xué)數(shù)學(xué)已經(jīng)學(xué)得很煩，所以想去學(xué)物理”。到普林斯頓的第一年，他都在上物理系的課，數(shù)學(xué)系的課一點(diǎn)兒沒管，最后也是為了考試突擊。

他當(dāng)時(shí)想去物理系找指導(dǎo)老師，但是進(jìn)展不順利，有一位做天文方向的老師給了他一篇paper去讀，他讀得也很吃力。后面兜兜轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)找到了數(shù)學(xué)系的查爾斯·費(fèi)弗曼（1978年獲菲爾茲獎(jiǎng)），因?yàn)樗?dāng)時(shí)有在做一些物理相關(guān)的內(nèi)容。

這也決定了他之后的研究方向，主要是從數(shù)學(xué)維度去解釋物理現(xiàn)象，幫助大家更好理解物理問題。

他表示，自己職業(yè)生涯的大部分時(shí)間都在研究Anderson模型這一問題。

這是我第一次感覺，我們將帶來重大影響。

另一位作者是尹駿，他是中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)少年班1998級(jí)校友，2008年獲得普林斯頓大學(xué)物理系博士學(xué)位。先后在哈佛大學(xué)、威斯康星大學(xué)擔(dān)任教職，目前是加利福尼亞大學(xué)洛杉磯分校教授。

他于2013-2014年獲得普林斯頓高等研究院馮·諾依曼研究獎(jiǎng)，2014年獲斯隆獎(jiǎng)（“諾獎(jiǎng)風(fēng)向標(biāo)”，主要表彰物理學(xué)、數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)等領(lǐng)域在職業(yè)生涯早期取得成就的杰出年輕學(xué)者）。

△尹俊個(gè)人經(jīng)歷里還提到了結(jié)婚和生娃hhh

One More Thing

值得一提的是，這兩年大模型領(lǐng)域常說的“涌現(xiàn)”這一概念，由Anderson模型的提出者菲利普·安德森進(jìn)一步明確。

1972年他在Science發(fā)表了一篇名為《多即不同》（More is Different）的文章，提出“物理系統(tǒng)在每一個(gè)復(fù)雜度上都會(huì)出現(xiàn)全新的性質(zhì)”。

這篇文章的核心思想就是“涌現(xiàn)”，同時(shí)也是凝聚態(tài)物理學(xué)的獨(dú)立宣言。

菲利普也被譽(yù)為凝聚態(tài)物理奠基人，他的研究領(lǐng)域跨越物理、材料學(xué)甚至信息科學(xué)，還曾嘗試解釋高溫超導(dǎo)等問題。

論文地址：https://arxiv.org/abs/2501.01718