中大獎的秘密！彩票的數學知識
彩票怎樣才能中獎?
理論上，只能靠運氣。但是，如果規則設計得不好，就可以鉆漏洞。
2005年2月，美國的一個彩票品種，就出現了漏洞，被麻省理工學院的學生發現了。隨后的七年，這個學生反復購買這個品種，一共賺到了300萬美元。
本文介紹他怎么做的，以及其中的數學原理。我依據的材料，主要來自數學教授 Jordan Ellenberg 在斯坦福大學的一次演講(Youtube)。
一、期望值
彩票最重要的數學概念，叫做"期望值"(expected value)，即同一種行為多次重復以后，所能得到的平均收益。
舉例來說，如果每次抽獎需要2元，假設200次抽獎可以中獎一次，獎金為300元。那么，你花了2000元，一共抽獎1000次，中獎了5次，獎金為1500元。
也就是說，1000次抽獎的總收益是1500元，每次的平均收益是1.5元，這就是期望值。它的計算公式如下。
- 期望值 = 300 * (1 / 200) + 0 * (199 / 200) = 1.5
期望值是1.5元，但是每次抽獎成本2元，于是凈虧損0.5元。
一看就知道，這個事情是不劃算的，做得越多，越不劃算。偶爾買一次彩票，倒也算了;如果你一天到晚不斷買彩票，就肯定會虧很多錢(上例是每200次虧100元)。
總之，期望值是衡量彩票收益的一個關鍵指標。
二、馬薩諸塞州的 WinFall 彩票
美國馬薩諸塞州有一個彩票品種，叫做 WinFall。它的規則很簡單：1到48里面，你猜6個數字，猜中就有獎。
- 四等獎(6個猜中2個)：獎金2元
- 三等獎(6個猜中3個)：獎金5元
- 二等獎(6個猜中4個)：獎金150元
- 一等獎(6個猜中5個)：獎金4000元
- 特等獎(6個猜中6個)：獎金池剩余的全部獎金
有一期，一共賣出了930萬張彩票，其中特等獎一個，獎金100萬美元，一等獎238個，二等獎11625個，三等獎19.8萬個，四等獎136.8萬個。
計算可知，這種彩票的期望值是0.798元。
- 期望值 =
- 100萬 * ( 1 / 930萬) +
- 4000 * ( 238 / 930萬) +
- 150 * (11625 / 930萬) +
- 5 * (19.8萬 / 930萬) +
- 2 * (136.8萬 / 930萬 )
- = 0.798
每張彩票的價格是2元，可是平均收益只有0.798元，連一半都不到，可見這種彩票是非常不劃算的。因此沒有吸引力，購買這種彩票的民眾不斷減少。
州政府很著急，因為政府從彩票抽成20%(每張0.4元)。如果銷售量減少，政府的收益也會減少。于是，政府為了增加這種彩票的吸引力，決定修改彩票規則。
三、新規則
新的規則是，如果當期沒有特等獎(沒人猜中6個數字)，那么獎金會分配給一等獎、二等獎、三等獎的得主，各獎項新的中獎金額如下。
- 一等獎(6中5)：50000元
- 二等獎(6中4)：2385元
- 三等獎(6中3)：60元
還是使用前面的中獎率，計算期望值。
- 期望值 =
- 50000 * ( 238 / 930萬) +
- 2385 * (11625 / 930萬) +
- 60 * (19.8萬 / 930萬) +
- = 5.53
每張彩票的價格還是2元，但是期望值變成了5.53元。購買這種彩票就變得非常劃算，大量購買的話， 可以得到2.5倍的收益。之所以期望值大于彩票的成本，是因為獎金池還包含前期剩余的獎金。
麻省理工學院的一個學生，發現了這一點。他湊了5000元購買彩票，結果中了將近15000元!
四、如何選擇號碼?
現在我們知道，新規則的彩票是有利可圖的，可以大量購買。但是，還有一個問題，應該怎么選擇號碼，才能保證收益?也就是說，48個號碼里面，你應該選擇哪6個號碼，才能收益最大化?
畢竟你不能購買所有彩票，因為彩票的收益來自沒中獎的那些人。你只能購買一部分彩票，設法使得自己購買的號碼有最大的中獎可能。
為了簡化思考，讓我們考慮一種簡單的情況。1到7里面猜三個數字，獎金如下。
- 猜中3個：獎金6元
- 猜中2個：獎金2元
- 猜中1個：無獎金
你可以同時選擇七種組合(即購買七張彩票)，請問應該如何選擇號碼?
五、組合數公式
首先，讓我們考慮一下，1到7這七個數字里面，三個數字的組合一共有多少種?這在數學里面，叫做組合數公式。
- 組合數公式是指從 m 個不同元素中，取出 n(n ≤ m)個元素的所有組合的個數，用符號 c(m, n) 表示。
它的計算公式如下。
- c(m, n) = m! / n! * (m - n)!
上面公式中，感嘆號表示階乘，比如4! 等于4 * 3 * 2 * 1 。
按照上面的定義，七個數字里面的三個號碼的組合，共有c(7, 3)個。
- c(7, 3) = 7! / 3! * (7 - 3)! = 35
這就是說，三個數字的組合共有 35 種。我們可以把它們全部列出來。
- 123 124 125 126 127
- 134 135 136 137
- 145 146 147
- 156 157
- 167
- 234 235 236 237
- 245 246 247
- 256 257
- 267
- 345 346 347
- 356 357
- 367
- 456 457
- 467
- 567
上面是所有35種可能的組合，你必須從中選出7種。請問應該選擇哪七種?
六、最佳組合
答案是下面這七種組合。
- 123 145 167 247 256 346 357
這七張彩票能讓你的收益最大化。因為，不管最后的中獎號碼是什么，它們可以保證你總是獲得6元獎金。如果中獎號碼是123，那么你拿到頭獎6元;如果中獎號碼是367，那么167、346、357這三張彩票各自猜中兩個號碼，你中了三個小獎，獎金總額也是6元。
仔細觀察這七張彩票，你會發現它們是精心選擇的：每個數字都正好出現三次。這導致你要么中一個大獎，要么中三個小獎。
七、幾何選擇法
這七張彩票是怎么選出的呢?
有一種幾何方法，可以非常簡單地做到這一點。七個號碼就是七個點，把它們用直線連起來，每根線上只能有三個點，而每個點出現在三根線上。畫成上面的形狀，就得到了七根線(內部的圓也算一根線)。然后，記錄一下每根線上的號碼，很簡單就選出了七張彩票。
更嚴謹的證明是這樣的：1到7這七個數字，共有21種兩個數字的組合(C(7, 2))，這意味著只要把這21種組合都買全了，就可以保證中三個小獎。因為三個中獎號碼里面，共有三種兩個數字的組合(比如中獎號碼是367，那么36、37、67都可以中小獎)。另一方面，由于每張彩票包含三個號碼，即包含三種兩個數字的組合，那么最少只要買7張彩票就能覆蓋全部21種組合。
八、實際的策略
回到前面的問題，馬薩諸塞州的彩票應該怎么買?
6個號碼只要猜中4個，就可以中二等獎，只要把所有四個號碼的組合都買了，就可以確保中15個二等獎(6個中獎號碼共有15個四個號碼的組合C(6, 4))。
48個號碼里面共有194580種四個號碼的組合(C(48, 4))，既然一張彩票包含15種組合，那么最少購買12972張彩票就夠了(194580 / 15 = 12972)，就可以包含所有四個號碼的組合。如果有興趣的話，你可以寫一個程序，算出包含這194580種組合的所有彩票。
購買12972張彩票，需要25944元(12972 * 2)。根據前面的獎金額，二等獎的獎金是2385元，那么15個二等獎就是35775元(2385 * 15)。因此，投入25944元，可以無風險地獲得35775元。當然，這樣做的前提是，當期沒人猜中特等獎，否則獎金就會被大大稀釋。
