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今天我想要與大家分享的是深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的工作方式，以及深度神經(jīng)與“傳統(tǒng)”機(jī)器學(xué)習(xí)模型的不同之處。我的計劃具體如下：

• 首先簡單地思考一下如何將問題設(shè)置成分類的形式；
• 接下來回顧偏差-方差分解，并在偏差-方差權(quán)衡的背景下，在VC-維數(shù)和非參數(shù)上進(jìn)行探討；
• 研究一些關(guān)于插值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和雙下降的文獻(xiàn)；
• 在文末做一個非常簡單的實(shí)驗(yàn)，用圖形直觀地講解為什么雙下降現(xiàn)象會發(fā)生。

1 正式設(shè)置一個機(jī)器學(xué)習(xí)問題

為了有些趣味，讓我們先設(shè)置一個問題。首先從數(shù)據(jù)開始。假設(shè)我們標(biāo)記了數(shù)據(jù)，即是滿足Px,y分布的輸入數(shù)據(jù)x（比如圖片）和標(biāo)簽y。如此一來我們得到：

• 分布Px,y固定且未知。對于i = 1……N來說，可獲得樣本,。
• 數(shù)學(xué)分析通常假設(shè)樣本是獨(dú)立的。
• 通常來說，我們需要假設(shè)標(biāo)簽y和輸入x間有y= 的函數(shù)關(guān)系，即是說，標(biāo)簽是精確的、沒有歧義的，但并非總是如此。

我們想要“訓(xùn)練”的是某些函數(shù)f:x?y ，或者說是更普遍地估計條件分布P(y∣x)。我們的候選函數(shù)來自于參數(shù)集F={fθ∣θ∈Θ}，在這里θ 代表參數(shù)。為了達(dá)成目標(biāo)，我們設(shè)定了損失函數(shù)（或風(fēng)險函數(shù)），從概念上講，我們希望將預(yù)期損失最小化。

第一次嘗試通常是將經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險或者經(jīng)驗(yàn)損失最小化。如果我們的損失函數(shù)是負(fù)對數(shù)似然，將最最小化就意味著計算最大相似估計。

對偏差-方差分解和偏差-方差平衡的簡單介紹  

對于最小二乘損失L=(f(x)?y)²（最基本的回歸估計量）來說，把預(yù)期損失分解成幾個部分是很容易的。其訣竅在于，我們需要意識到我們的訓(xùn)練數(shù)據(jù)本身是一個從n次乘積分布中采得的隨機(jī)變量，且我們訓(xùn)練的模型 f依賴于D，記作。通過巧妙地添加并利用  (x,y) 和D的獨(dú)立性，我們可以將預(yù)測的期望平方誤差分解為：

最后一項(xiàng)噪音并不依賴于我們的模型。現(xiàn)在為了得到我們預(yù)測的良好的預(yù)期平方誤差，我們必須注意到模型輸出的偏差(第一項(xiàng))和方差(第二項(xiàng))的和很小。注意這里所有的項(xiàng)都是非負(fù)的。針對二元分類器的預(yù)期精度，其實(shí)存在著類似但更復(fù)雜的分解，但其他損失函數(shù)通常很難分解，盡管我們可以想象那樣的模型選擇的工作也是類似的。因?yàn)樽屍?方差等于0或非常接近0都相對容易，這樣分解會讓我們在偏差和方差間做出權(quán)衡：通過使用D中每個數(shù)據(jù)點(diǎn)的樣本均值作為估計，偏差可以非常小，且能巧妙地給出正則性論證來假設(shè)函數(shù)是Lipschitz函數(shù)或至少是一致連續(xù)。這就是極端的過擬合。通過預(yù)測不依賴于D的函數(shù)，比如，我們可以讓方差為0，這樣則是極端的欠擬合。

請注意，均方誤差的偏差-方差分解是一個根據(jù)數(shù)學(xué)定理(或至少一個引理)成立的方程，所以是普遍適用的，不需要任何條件。

2 從僵化中解脫出來，帶來自由的結(jié)構(gòu)

從某種程度上說，從上述極端情況轉(zhuǎn)向更溫和的條件也表明了我們在實(shí)踐中可以做些什么。

增加候選函數(shù)的集合

一種方法是，以一組非常嚴(yán)格的函數(shù)作為候選函數(shù)，然后有意義地擴(kuò)大候選函數(shù)的空間，以獲得(假設(shè)是嵌套的)序列F0?F1?…. 關(guān)鍵想法是，進(jìn)一步研究可以讓模型更好地適應(yīng)數(shù)據(jù)，而我們則須知道何時停止這種深入。Vapnik和Chervonenkis 的結(jié)構(gòu)風(fēng)險最小化原理就是這么做的，盡管該原理沒有使用偏差-方差分解，而是使用了預(yù)期損失(風(fēng)險)與D上的觀察損失(經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險)的邊界，和一個依賴于訓(xùn)練數(shù)據(jù)集大小N 和函數(shù)集的大小或其VC維的項(xiàng)。此處的典型情況是，一個人想要N≥VC-dim個樣本，卻可能有N≤20VC-dim個樣本。但請注意，這里參數(shù)的數(shù)量不是標(biāo)準(zhǔn)的一部分(但可能會影響VC維)。

最后，傳統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)比如赤池信息量準(zhǔn)則嘗試告訴你應(yīng)該“投資”多少參數(shù)來達(dá)到低的負(fù)對數(shù)可能性。但是Bishop在其引言中發(fā)現(xiàn)，這些方法并不是很有效。

非參數(shù)估計:正則化

經(jīng)典的非參數(shù)估計從另一個極端開始。如果我們?nèi)∧硞€函數(shù)空間,如在里有弱導(dǎo)數(shù)的索伯列夫函數(shù)空間 (無論采用何種測度，是x的分布抑或是包含輸入的的勒貝格測度)，我們可以匹配任意有限樣本D上每一點(diǎn)的樣本均值，從而可以獲得0點(diǎn)態(tài)偏差, 但是最小化經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險是病態(tài)的，有無限多的解。

接下來要做的就是正則化。最著名的例子可能是增加一個規(guī)范項(xiàng)從而導(dǎo)致Tikhonov正則化，所以我們的損失看起來會是這樣

如果我們從偏差-方差的角度來看，我們能夠平衡偏差（當(dāng)λ→0沒有偏差，但會導(dǎo)致病態(tài)）與方差（當(dāng)λ→∞，我們處于 。我們并不想讓方差為0，因?yàn)槲覀兊恼齽t化項(xiàng)僅僅是一個半范數(shù)）。當(dāng)然了，Grace Wahba有關(guān)正則化回歸的研究尤其與保持偏差-方差間的良好平衡相關(guān)，特別是與如何尋找到一個合適的λ值相關(guān)。通過觀察給定的λ，的極小值會有半范數(shù)值，該值必然能在中將經(jīng)驗(yàn)最小二乘損失(第一項(xiàng)) 最小化，就可以將前一節(jié)中的ansatz函數(shù)與嵌套空間Fi聯(lián)系起來。因此來自遞增權(quán)重序列的遞減范數(shù)序列就給到了我們嵌套的Ansatz空間。

許多流行的正則回歸方法(例如Lasso)適合這種類型的框架。

贊美VC界

讓我們講回VC 界，正式一點(diǎn)以便增強(qiáng)直覺。關(guān)鍵的概率界限是為了準(zhǔn)確性(或者說0-1的風(fēng)險)

我們來分析一下。外面部分稱“概率大于等于1?η”（我們還得更精確一點(diǎn)），此處我們覺得概率η太小了，這意味著我們所有的只是一個概率界限，而不是一個“幾乎肯定”的保證。

內(nèi)部的部分基本上是說，在全概率分布上的精度非常接近于在訓(xùn)練集上的精度，也就是說在N變得非常大的時候，我們有一個差值趨于零的精確邊界。

從表面上看，這告訴了我們關(guān)于風(fēng)險或準(zhǔn)確性的信息，但是關(guān)于模型又說明了什么呢? 在我看來，關(guān)鍵的信息是，我們的模型是如此嚴(yán)格，以至于我們可以看到測試集上發(fā)生的一切(或者更精確地說，在完整的Px,y分布上發(fā)生的一切)已經(jīng)在訓(xùn)練集中發(fā)生了。

貝葉斯放一邊

在貝葉斯環(huán)境下，正則化可以被解釋為最大后驗(yàn)(MAP)估計，或者——如果我們經(jīng)歷了定義先驗(yàn)的麻煩——我們也可以對所有f∈F的估計進(jìn)行積分。

3 這告訴了我們深度學(xué)習(xí)的什么? 

當(dāng)我們將model.parameters()（這里我用的是PyTorch）傳遞給優(yōu)化器時，深度學(xué)習(xí)看起來好像是參數(shù)化的。但其實(shí)它不是!看起來這種正則化方法正是深度學(xué)習(xí)運(yùn)作的理論框架——有時人們對此知之甚少。

我們的模型足夠大，從“道德上看來”足以成為非參數(shù)，盡管我們還沒有完全理解，但我們所做的大多數(shù)事情(比如augmentation, norm layers和 dropout)其實(shí)都是正則化。

這也是M. Belkin等人所寫的《協(xié)調(diào)現(xiàn)代機(jī)器學(xué)習(xí)實(shí)踐和偏差-方差權(quán)衡》(Reconciling modern machine learning practice and the bias-variance trade-off)的主題和他們早期研究的主題，即泛化性能的關(guān)鍵是由某個特定函數(shù)空間范數(shù)衡量的函數(shù)的規(guī)律性或平滑性。 

我們有必要仔細(xì)看看M. Belkin等人(我認(rèn)為這是首次)對雙下降現(xiàn)象的描述:

這里有幾點(diǎn)需要注意:

• M. Belkin等人把條件中的“傳統(tǒng)(classical)”和“現(xiàn)代(modern)”等限定詞用引號括了起來。“現(xiàn)代”條件是一種十分之非參數(shù)的學(xué)習(xí)，具有一種我們還需要更加深入理解的正則化。
• 在多參數(shù)的條件下，偏差-方差思維似乎仍然是完全適用的，但非參數(shù)回歸可能是比“限制容量”的候選集更好的參考框架。

對于雙重下降現(xiàn)象的普遍理解似乎都是基于P. Nakkiran等人的文章:《雙重下降》(Deep Double Descent)，這證明了這篇論文的優(yōu)秀，也證明了OpenAI能夠?qū)⑦@些選題推介給更廣泛的受眾。他們用更真實(shí)的網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)(M. Belkin等人則引用了更淺層的網(wǎng)絡(luò))。對我來說，一個重要的結(jié)論是，雙重下降現(xiàn)象在標(biāo)簽損壞的兩種實(shí)驗(yàn)條件中存在“凹凸”，他們的報告稱，在標(biāo)簽干凈的實(shí)驗(yàn)中，所得到的結(jié)果則要平緩得多，沒有那么“凹凸”。

他們給出了一張圖，這張圖顯示了對于固定次數(shù)的epoch，用損壞標(biāo)簽將一個修改過的ResNet18訓(xùn)練成CIFAR10這個過程中的測試錯誤。修改是指信道數(shù)量降到原數(shù)量的k分之一（k在64到1這個范圍）（意思是他們會從原ResNet18的64分之一開始做實(shí)驗(yàn)，逐漸增加，最后達(dá)到原數(shù)量）。標(biāo)簽損壞發(fā)生在數(shù)據(jù)集中(在某一次epoch，而不是每個epoch中)，15%的標(biāo)簽被切換到一個隨機(jī)錯誤的類。這被解釋為一種概略的誤設(shè)。

4 VC理論對于用噪聲標(biāo)簽擬合模型有什么啟示?

通過上面的討論，我們了解到當(dāng)一個模型處于VC界有用的限定條件中（比如當(dāng)小模型處于“傳統(tǒng)”條件中)，如果訓(xùn)練數(shù)據(jù) D來自與原始數(shù)據(jù)相同的分布 Px,y，測試集的測試精度（很可能)接近訓(xùn)練精度。換句話說，這個條件意味著我們假設(shè)Px,y有相同的損壞程度（和損壞種類)。但這意味著如果模型學(xué)習(xí)了，且學(xué)會了不被損壞的訓(xùn)練數(shù)據(jù)分散太多注意力，也就是說，在訓(xùn)練數(shù)據(jù)上，正確標(biāo)簽會擠出損壞標(biāo)簽。

5 特征和學(xué)習(xí)

讓對深度學(xué)習(xí)的直覺化變得困難的原因之一是Ansatz領(lǐng)域的自適應(yīng)特性。我這么說的意思是，我們沒有一個固定的特征提取器（由手動構(gòu)造，并由核機(jī)中使用的核家族給出)將學(xué)習(xí)應(yīng)用到特征上。通常，我們將最后一層的輸入視為特征（通過word2vet式損失、原型網(wǎng)絡(luò)、基準(zhǔn)無監(jiān)督學(xué)習(xí)等方式學(xué)習(xí)的向量表示方法)，或者我們可能在MLP分類器頭之前的卷積層末尾分割卷積網(wǎng)絡(luò)。

傳統(tǒng)的做法是將學(xué)習(xí)后的分類器放在固定的特征提取器上，E. Hoffer等人的想法卻相反，他們甚至建議對分類器進(jìn)行固定，即只對特征提取器進(jìn)行訓(xùn)練。

因此，我們可能會試圖通過假裝提取特征來簡化我們的直覺。在P. Nakkiran等人的標(biāo)題圖片實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)使用t-SNE等降維機(jī)制將通過無噪聲數(shù)據(jù)學(xué)習(xí)到的特征可視化時，添加標(biāo)簽噪聲相當(dāng)于在每個類對應(yīng)的點(diǎn)的blob上添加噪聲。考慮到這一點(diǎn)，我們可以進(jìn)行一個類似的實(shí)驗(yàn)，這個實(shí)驗(yàn)甚至比M. Belkin等人的人工數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)更簡單，那就是：理解深度學(xué)習(xí)。

6 對標(biāo)簽噪聲、容量、雙下降和實(shí)驗(yàn)測試誤差的直覺

撇開統(tǒng)計數(shù)據(jù)不談:下文推測了一些可能發(fā)生的情況，通過想象我們可以在原型網(wǎng)絡(luò)中得到與P. Nakkiran等人圖中所描述的相同的現(xiàn)象，且容量由我們所能擁有的原型數(shù)量來表示:

• 在最左邊width(參數(shù))值1到5附近，我們的原型比類少，模型擬合程度不高（欠擬合），因?yàn)槟Ｐ筒荒艽硭械念悺?/span>
• 在width5附近，我們有10個（或者適當(dāng)?shù)馗啵┰危牵诿恳粋€原型的訓(xùn)練中損壞標(biāo)簽都被擠出了，所以這些損壞標(biāo)簽沒有發(fā)揮作用。
• 在width5到10這個范圍，原型收集損壞的標(biāo)簽。由于每個原型都有一個用在推斷階段的“影響范圍”，所以存在一個相當(dāng)大的空間，在這個空間中損壞原型與測試是非常相關(guān)的。
• 在width10以外的范圍，我們增加了更多的原形。原型之間變得更近，在推斷階段中損壞的標(biāo)簽原型也被“擠出”，因此它們的“影響范圍”就會變得更小(因?yàn)楸绕饟碛?個損壞原形，同一個類擁有5個非損壞原型中的3個的概率更大)。

這對偏差-方差分解意味著什么? 回想一下，分解在空間上是逐點(diǎn)的，并像之前一樣要對各種訓(xùn)練數(shù)據(jù)集進(jìn)行方差和偏差處理。

假設(shè)你只有兩個類，那么預(yù)測和標(biāo)簽要么是0要么是1。接下來原型收集已損壞的標(biāo)簽，就會產(chǎn)生偏差（因?yàn)槟銓⒁阅撤N概率預(yù)測錯誤的事情)和方差（因?yàn)樵愀忸A(yù)測的區(qū)域取決于哪些標(biāo)簽已損壞，也就是取決于我們在哪個數(shù)據(jù)集D上繪制)，并使錯誤預(yù)測的區(qū)域更小，從而減少方差和偏差。在這種直覺中，早期停止的作用是檢測模型何時開始收集已損壞的標(biāo)簽。

所以看起來現(xiàn)代神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)本質(zhì)上是非參數(shù)的，其工作方式依賴于各種正則化。為了使用M. Belkin等人的公式，我們希望更加了解，我們對于各種技術(shù)如何對某些函數(shù)空間范數(shù)作用的理解到了什么程度。似乎很難得出“傳統(tǒng)”統(tǒng)計數(shù)據(jù)表明現(xiàn)代學(xué)習(xí)不起作用的結(jié)論。

Hastie等人的《高維無脊最小二乘插值中的驚喜》(Surprises in High-Dimensional Ridgeless Least Squares Interpolation)一文將最小二乘作為模型問題，提供了非常全面的分析，這也可能為深度學(xué)習(xí)現(xiàn)象提供直覺。

在插值條件中擠出錯誤標(biāo)記的數(shù)據(jù)  

我們可以做一個非常簡單的插值條件的模擬。我們來思考一個由2d標(biāo)準(zhǔn)單位法線提取并沿著水平軸移動±2的點(diǎn)的二分類問題，并從每個類別的分配中抽取25%的點(diǎn)。為了得到一個插值條件，我們使用一個具有明顯峰值的核。為了有一個易分析處理的質(zhì)量并將其標(biāo)準(zhǔn)化為1，我們使用核

這個核有單位質(zhì)量，在x=0時趨于無窮，且從原點(diǎn)衰減：

這意味著，如果我們將每一類的密度表示為樣本處核的均值，即：

假設(shè)不同類別的點(diǎn)不重合(幾乎肯定如此)，我們可以根據(jù)更大的點(diǎn)對每個點(diǎn)進(jìn)行分類，或者說，如果我們想通過標(biāo)準(zhǔn)化每個點(diǎn)的概率密度來獲取概率

這給了我們一個插值解——在每個訓(xùn)練點(diǎn)，標(biāo)簽類有無限密度，所以它被歸類為屬于這個類。那么標(biāo)簽錯誤發(fā)生了什么呢? 標(biāo)簽錯誤會導(dǎo)致?lián)p壞的訓(xùn)練點(diǎn)附近的某些區(qū)域被分配給錯誤的類。然而，附近正確類的點(diǎn)越多，錯誤分類的區(qū)域就越小。我們可以交互地嘗試。隨著點(diǎn)數(shù)的增加，測試誤差會減少。

這意味著什么呢? 這說明對于插值解，在測試時間內(nèi)，良好的訓(xùn)練點(diǎn)會擠出標(biāo)記糟糕的點(diǎn)。 

對抗示例

但是，隨著數(shù)據(jù)的增加，當(dāng)壞分類的區(qū)域和被隨機(jī)抽樣的數(shù)據(jù)點(diǎn)擊中的概率減小時，隨機(jī)抽樣點(diǎn)到下一個壞樣本的距離也減小了。這意味著除了利用模型的不良連續(xù)性(即輸入的小變化會導(dǎo)致提取的特征發(fā)生大的變化)，插值條件也能使對抗例子更容易產(chǎn)生，因?yàn)槲覀冎恍枰卣鞯男∽兓?/span>

特征噪聲類似于標(biāo)簽噪聲

但是，雙重下降不是也發(fā)生在沒有損壞標(biāo)簽的情況下嗎? 我們“僅僅”需要格外小心地處理我們的訓(xùn)練數(shù)據(jù)嗎?

好吧，沒這么簡單。高維特征在本質(zhì)上可能比低維特征噪聲更多：想象一下在高維空間(比如d)中有一個兩類線性分類。我們有了有向量和偏差的分類器。給定輸入，當(dāng)x?v+b≥0時，類為1;否則，類為0。如果我們預(yù)先知道輸入是有界的，我們可以找到類原型 ，并使用距離進(jìn)行分類。但隨后的線性分類器的d?1維零空間(null-space)中的向量，比如我們可以添加到輸入中而不改變結(jié)果的向量空間，可能對這個距離有很大幫助，從而使得成為對更相關(guān)的投影距離的一個噪聲估計。

如果我們想保持在二維空間，我們可以放大噪聲維度。這就將我們引入第二個實(shí)驗(yàn)。我們來繪制獨(dú)立的隨機(jī)二維點(diǎn)，其在“特征維度”中的標(biāo)準(zhǔn)偏差為0.5，在“噪聲維度”中的標(biāo)準(zhǔn)偏差為5。這兩個類用±1分開。我們使用EM算法來將每個維度的標(biāo)準(zhǔn)偏差為1的K高斯函數(shù)的混合值擬合到每個類中。通過比較兩個擬合密度進(jìn)行分類。我們使用5000個訓(xùn)練點(diǎn)和1000個測試點(diǎn)。

如果我們以不同的K值運(yùn)行200次，并記錄其準(zhǔn)確性，我們可以看到雙重下降中的凹凸:

關(guān)于這些實(shí)驗(yàn)的一個問題是:誤差分布是傾斜的:我們得到的很多測試誤差在2-3左右出現(xiàn)，可誤差在10左右還出現(xiàn)了一個尾巴。這條差擬合的曲線尾部的質(zhì)量隨分量K的數(shù)量而變化，似乎是造成中間K的平均誤差出現(xiàn)凹凸的主要原因。

7 結(jié)論

綜上，我們學(xué)到了什么呢？

• 在我看來，噪音需要在推斷階段而不是在訓(xùn)練階段擠出特征，由此我們看出深度學(xué)習(xí)模型的本質(zhì)是非參數(shù)的。這與KDE實(shí)驗(yàn)非常接近。
• 即使我們有很好的標(biāo)簽(你有的，對吧？)，深度學(xué)習(xí)中的高特征維度會導(dǎo)致特征中的噪音，而這些噪音的行為與標(biāo)簽中的噪音類似。